Exercice 17, § 14

On conserve les notations de l’exerc. 15, et on suppose V de dimension finie sur D. On dit qu’un groupe G d’automorphismes de A est galoisien s’il satisfait aux conditions suivantes :

(i) $(G : G_0)$ et $[U_0(G) : Z]$ sont finis ;

(ii) L’anneau $U_0(G)$ est simple ;

(iii) Pour tout élément inversible $s$ de $U_0$(G), l’automorphisme $a\rightarrow sas^{-1}$ appartient à $G_0$.

Soit G un tel groupe.

a) Démontrer que l’application $H\rightarrow A^H$ est une bijection décroissante de l’ensemble des sous-groupes galoisiens de G sur l’ensemble des sous-anneaux simples de A contenant $A^G$ et dont le commutant $B'_0$ dans A est simple.

(Déduire de l’exerc. 15 f ) et g) que cette application est bien définie et injective. Soit B un sous-anneau simple de A satisfaisant aux conditions ci-dessus et soit H le groupe des automorphismes de A fixant B ; prouver en utilisant les exerc. 14 c) et 16 que B est galoisien, puis à l’aide de la prop 12 de VIII, p. 201 que l’on a $B = A^H$ et que H est galoisien.)

b) Soient $B_1, B_2$ des sous-anneaux simples de A contenant $A^G$ et dont les commutants dans A sont simples, et $\varphi$ un isomorphisme de $B_1$ sur $B_2$ fixant $A^G$. Démontrer qu’il existe un élément de G qui coïncide avec $\varphi$ sur $B_1$.

(Remarquer tout d’abord qu’on a long$_{B_1}(V) =$ long$_{B_2}$(V), en utilisant l’égalité $h(B_1,A^G) =h(B_2,A^G)$. Soit W l’ensemble des éléments $f$ de Ω satisfaisant à $f(bx) =\varphi (b)f(x)$ pour $b\in B_1,x\in V$; démontrer que W n’est pas réduit à zéro, puis en lui appliquant l’exerc. 14 c) qu’il contient une application semi-linéaire non nulle $w$; si S est un sous-DB$_1$-module simple de V non contenu dans Ker $w$, montrer que $w$ induit une bijection de S sur son image et que l’on a long$_{B_1}(S) =$ long$_{B_2}(w(S))$ (utiliser l’exerc. 16 b)). En raisonnant comme dans loc. cit., conclure que W contient une bijection semi-linéaire coïncidant avec $w$ dans S.)

c) Particulariser les résultats de a) et b) aux cas suivants :

(i) $G = G_0($cf. VIII, p. 255, th. 5) ;

(ii) $G_0=\{1\}$; démontrer que tout groupe fini d’automorphismes de A est galoisien, et que tout sous-anneau simple de A contenant $A^G$ admet Z pour commutant dans A ;

(iii) V est de dimension 1, de sorte que A est un corps isomorphe à $D^o$; l’anneau $A^G$ est un corps et tous les sous-corps de A contenant $A^G$ ont pour commutant un corps. Cas particulier où D est commutatif (cf. V, §10, n$^o7$).