Bài tập 17, § 14

Giữ ký hiệu của Bài tập 15, và giả sử rằng V là hữu hạn chiều trên D. Một nhóm G các tự đẳng cấu của A được gọi là Galois nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) $(G : G_0)$ và $[U_0(G) : Z]$ là hữu hạn.

(ii) Vành $U_0(G)$ là đơn.

(iii) Với mọi phần tử khả nghịch $s$ của $U_0$(G), tự đẳng cấu $a\mapsto sas^{-1}$ thuộc $G_0$.

Cho G là một nhóm như vậy.

a) Chứng minh rằng ánh xạ $H\mapsto A^H$ là một song ánh giảm từ tập hợp các nhóm con Galois của G lên tập hợp các vành con đơn của A chứa $A^G$ và có hoán tập $B'_0$ trong A là đơn. (Suy ra từ Bài tập 15, f) và g) rằng ánh xạ này được xác định tốt và đơn ánh. Cho B là một vành con đơn của A thỏa mãn các điều kiện trên, và cho H là nhóm các tự đẳng cấu của A cố định B. Dùng các Bài tập 14, c) và 16 để chứng minh rằng B là Galois rồi dùng Mệnh đề 12 của VIII, p. 205 để chứng minh rằng ta có $B = A^H$ và H là Galois.)

b) Cho $B_1$ và $B_2$ là các vành con đơn của A chứa $A^G$ mà các vành đối giao hoán của chúng trong A là đơn, và cho $\varphi$ là một đẳng cấu từ $B_1$ lên $B_2$ cố định $A^G$. Hãy chứng minh rằng tồn tại một phần tử của G trùng với $\varphi$ trên $B_1$.

(Trước hết hãy nhận thấy rằng ta có long$_{B_1}(V) =$ long$_{B_2}$(V), dùng đẳng thức $h(B_1,A^G) =h(B_2,A^G)$. Gọi W là tập hợp các phần tử $f$ của Ω thỏa mãn $f(bx) =\varphi (b)f(x)$ với $b\in B_1,x\in V$. Hãy chứng minh rằng W không bị thu về 0, rồi áp dụng Bài tập 14, c) cho nó để chỉ ra rằng nó chứa một ánh xạ nửa tuyến tính khác không $w$. Hãy chỉ ra rằng nếu S là một DB$_1$-môđun con đơn của V không được chứa trong Ker $w$, thì $w$ cảm sinh một song ánh từ S lên ảnh của nó và ta có long$_{B_1}(S) =$ long$_{B_2}(w(S))$ (dùng Bài tập 16, b)). Lập luận như ở loc. cit., hãy kết luận rằng W chứa một song ánh nửa tuyến tính trùng với $w$ trên S.)

c) Hãy chuyên biệt hóa các kết quả của a) và b) vào các trường hợp sau:

(i) $G = G_0$ (xem VIII, p. 259, Định lý 5).

(ii) $G_0=\{1\}$. (Hãy chứng minh rằng mọi nhóm hữu hạn các tự đẳng cấu của A đều là Galois và mọi vành con đơn của A chứa $A^G$ đều có Z làm hoán tập trong A.)

(iii) V có chiều 1, do đó A là một trường đẳng cấu với $D^o$. (Vành $A^G$ là một trường, và mọi trường con của A chứa $A^G$ đều có một trường làm hoán tập. Hãy xét trường hợp riêng khi D giao hoán (xem V, §10, No. 7).)