习题 15, § 14

保留习题 14 的记号；用A表示环End$_D(V)$。设G是A的自同构群和G的元素$G_0$子群，它们是A的内自同构。用U(G)表示(左和右)D-线性子空间 Ω 由 V 的半线性双射 $s$ 生成，使得自同构 $a\mapsto sas^{-1}$ 属于到 G，并用 $U_0(G)$ 表示由自同构 $u$ 生成的 A 的 Z 线性子空间 V使得自同构$a\mapsto uau^{-1}$属于至$G_0$。这些是 Ω 的 Z 子代数。

a) 令$(s_{\alpha})$为$U_0(G)$的基在$S_0$(G)的元素的Z由……组成上，并令$(g_{\beta})_{\beta\in G/G_0}$为G中类(mod$G_0$)代表的系统。对于每个S(G) 相应的至 $g_{\beta}$ 的$\beta \in G/G_0$、选择元素 $u_{\beta}$。证明 U(G) 在 D 上的元素 $s_{\alpha}u_{\beta}$ 形式 a（左和右）基（使用习题 14, a)）。 次数 [U(G) : D] 是有限的当且仅当 $[U_0(G) : Z]$ 和 $(G : G_0)$ 是有限的；如果是这种情况，那么我们就有 $[U(G) : D] = [U_0(G) : Z] (G : G_0)$。

b) 证明$U_0(G)$等于$U(G)\cap A$并且$U(G_0) = Du_0(G)$与$U_0(G)\otimes_ZD$自然同构（使用习题14以及VIII、p. 227的习题14）。 c) U(G) 的元素是从 V 到自身的半线性映射，当且仅当它是形式 $\lambda su_{\beta}$ 与 $\lambda \in D,s\in U_0$(G) 和 $\beta \in G/G_0$（使用 a)、b) 和习题 14、a))。

d) 用 $A^G$ 表示 Ω 中 U(G) 的交换子；是G下元素不变量由……组成子环。集合$Z^G= A^G\cap Z$；它是G下Z不变量的元素的子域。证明Z和$A^G$在$Z^G$上是线性不相交的（验证$A^G$的基在$Z^G$上是A在子集上的自由子集） Z）。

e) 证明如果 $U_0(G)$ 是一个简单的环并且 Z 代数 $U_0(G)$ 和 D 之一具有有限次数，则环 U(G) 是拟单（从 c 中推导出）$U(G_0)$ 是一个简单的环，并使用 c)) 将习题 14, c) 应用于 U(G) 的双面理想。

f ) 假设 V 和 U(G) 在 D 上是有限维的，并且环 $U_0(G)$ 是简单的。证明环 A[G] 很简单，并且我们有 $[A : A^G]_s=$ $[U_0(G) : Z] (G : G_0)$（应用命题 12 of VIII, p. 205）。证明Ω中$A^G$（或A）中的交换子是U(G)（或$U_0(G)$）（VIII、p. 139的应用命题 5）。

g) 推导出固定$A^G$的A的自同构群由自同构$a\mapsto vav^{-1}$组成，其中$v$贯穿U(G)中的半线性双射的集合。证明它是由G和与$U_0(G)$的可逆元关联的内自同构生成的（使用c））。

h) 如果$G = G_0$，则环$A^G$包含Z；当 D 是 Z 上的有限维时，证明逆命题（使用 VIII、p. 257 的定理 4）。