习题 2, § 7

设 $(R_i)_{i\in I}$ 为 R 的不可约分量族，$\mathfrak{g}=\prod_{i\in I}\mathfrak{g}_i$

将$\mathfrak{g}$的相应的分解转换为单代数的乘积。 认同 P 与 $P(R_i)$ 的乘积，并给出由基 $B_i= B\cap R_i$ 定义的每个 $P(R_i)$ 序关系。

a) 设$\omega = (\omega_i)_{i\in I}$为$P_{++}=\prod_{i\in I}P_{++}(R_i)$的元素。表明简单

$\mathfrak{g}$-模块$E(\omega )$同构于简单的$\mathfrak{g}_i$-模块$E(\omega_i)$的张量积。

b) 设$\mathscr{M}$（分别$\mathscr{M}_i$）为$P_{++}$（分别$P_{++}(R_i)$）的元素和集合，具有与第6条和第7条相同的性质（i），（ii），（iii），（iv）。证明$\mathscr{M}=\prod_{i\in I}\mathscr{M}_i$，在其他字中$\omega \in \mathscr{M}$当且仅当，对于所有$i\in I,\omega_i$

是 $R_i$ 的零或极小权。推出$\mathscr{M}$是$P/Q$元素P中的代表系统。

c) 设 E 是一个简单的 $\mathfrak{g}$ 模，$\mathscr{X}$ 是权的集合。证明$\mathscr{M}$的$\mathscr{X}$包含唯一元素，并且这个元素的重数等于$\mathscr{X}$的元素的重数上界。