Bài tập 2, § 7

Cho $(R_i)_{i\in I}$ là họ các thành phần bất khả quy của R, và $\mathfrak{g}=\prod_{i\in I}\mathfrak{g}_i$ là phân tích tương ứng của $\mathfrak{g}$ thành một tích của các đại số đơn. Đồng nhất P với tích của các $P(R_i)$, và trang bị cho mỗi $P(R_i)$ quan hệ thứ tự được xác định bởi cơ sở $B_i= B\cap R_i$.

a) Cho $\omega = (\omega_i)_{i\in I}$ là một phần tử của $P_{++}=\prod_{i\in I}P_{++}(R_i)$. Chứng minh rằng môđun đơn

$\mathfrak{g}$-môđun $E(\omega )$ là đẳng cấu với tích tenxơ của các môđun đơn $\mathfrak{g}_i$-môđun $E(\omega_i)$.

b) Cho $\mathscr{M}$ (tương ứng $\mathscr{M}_i$) là tập hợp các phần tử của $P_{++}$ (tương ứng của $P_{++}(R_i)$) có các tính chất tương đương (i), (ii), (iii), (iv) của Mệnh đề 6 và 7. Chứng minh rằng $\mathscr{M}=\prod_{i\in I}\mathscr{M}_i$, nói cách khác rằng $\omega \in \mathscr{M}$ khi và chỉ khi, với mọi $i\in I,\omega_i$

hoặc là không hoặc là một trọng lượng minuscule của $R_i$. Suy ra rằng $\mathscr{M}$ là một hệ các phần tử đại diện trong P của các phần tử của $P/Q$.

c) Cho E là một môđun đơn $\mathfrak{g}$, và $\mathscr{X}$ là tập hợp các trọng số của nó. Chứng minh rằng $\mathscr{X}$ chứa một phần tử duy nhất của $\mathscr{M}$, và rằng bội số của phần tử này bằng cận trên của các bội số của các phần tử của $\mathscr{X}$.