习题 26, § 7

应用记号和 Exerc 的结果。 25 到 $\mathfrak{a}=\mathfrak{g}$ 的情况（分裂的情况）。

a) 令 $x\in G$ 并令 $\sigma =v(x)$ 为 Aut($\mathfrak{g}$) 中的像。如果$\rho$是$\mathfrak{g},\rho$和$\rho \circ \sigma$的表示是等价的。推断 (cf. no. 2, 注 1) $\sigma$ 属于到 Aut$_0(\mathfrak{g})$。 扩展这个结果为任意半单代数。

b) 设 $\varphi \in T_P=$ Hom(P$, k^*$)，其中 P = P(R)。如果E是$\mathfrak{g}$模，则令$\varphi_E$为E的自同态，其限制与每个$E^{\lambda}(\lambda \in P)$的位似之比为$\varphi (\lambda )$。证明存在唯一元素 $t(\varphi )\in G$，使得 $t(\varphi )_E=\varphi_E$ 对于所有 E（使用 Exerc. $24c$），以及 Exerc 的刻画 (ii) 和 (vi)。 25.) 这给出了同态 $t: T_P\rightarrow G$。证明 $t$ 是单射的。我们将其用于认同 $T_P$ 和 G 的子群。复合$T_P\rightarrow G\rightarrow$ Aut($\mathfrak{g}$) 是同态，由 §5, no. 2 中的 $f\circ q$ 表示。

c) 令$x\in G$使得Aut$_0(\mathfrak{g})$(§5, no. 2)的$\sigma =v(x)$属于到子群$f(T_Q)$，在其他字中，这样它在$\mathfrak{h}$上的操作很简单；用$\psi$表示$T_Q=$Hom(Q$, k^*$)相应的到$x$的元素。我们将证明 $x$ 属于到 $T_P$。依次证明：

$c_1)$ 如果 E 是$\mathfrak{g}$-模，$x_E$ 是 E 的$\mathfrak{h}$-自同态。

（使用$\mathfrak{g}$同态$\mathfrak{g}\otimes E\rightarrow E$，以及$x$在$\mathfrak{h}.$上运行的事实）特别是，$E^\mu$在$x_E$下是稳定的。

$c_2)$ 存在 $\varphi \in T_P$，使得对于每个 $\mathfrak{g}$ 模块 E，以及权 $\lambda$ 的 E 的每个原语元素 $e$，我们有 $x_Ee=\varphi (\lambda )e$。

（选择$\varphi$，当 E 是基本模$E(\varpi_{\alpha})$时，关系为真。 通过使用嵌入来推导 $E(\lambda ),\lambda \in P_{++}$ 的情况

$^{16*}$在这种情况下，可以证明$U'$是单连通的大数

半单代数群 A 与李代数 $\mathfrak{a}$，且 G 是群

$k$-$A$的点。\*例如$E(\varpi_{\alpha})$的张量积中的模。从这里转到一般情况。）

$c_3)$ 选择 $\varphi$ 如$c_2)$。令E为最高权$\lambda$的简单$\mathfrak{g}$模，并令$\mu$为E的权；然后$\lambda -\mu\in Q$。证明$x_E$与$E^\mu$的限制是$\varphi (\lambda )\psi (\mu-\lambda )$的位似。 （方法与$c_1$相同）$.)$

$c_4)$ 如果$\lambda , \mu\in P_{++}$，且$\alpha \in B$ 不与$\lambda$ 或$\mu$ 正交，则

所以$\varphi (\alpha ) =\psi (\alpha )$。 （使用$c_2$）$,c_3)$，并将$E(\lambda +\mu-\alpha )$嵌入到$E(\lambda )\otimes E(\mu)$、cf.Exerc中。 17.)

$c_5)$ 从$c_4)$推出$\varphi |Q =\psi$，并使用$c_3)$推出$x=t(\varphi )$。 d) 认同 $T_Q$ 以及 Aut$_0(\mathfrak{g})$ 的子群通过 $f$。由a），我们有

自动$_e(\mathfrak{g})\subset v(G)\subset$ 自动$_0(\mathfrak{g})$

并且，通过 $c),v(G)\cap T_Q=$ Im(T$_P$)。推断 (cf. §5, no. 3) Aut$_e(\mathfrak{g})\cap T_Q=$ Im(T$_P$) 和 $f(G) =$ Aut$_e(\mathfrak{g})$。规范的映射

$\iota : T_Q/$我(T$_P$)$\rightarrow$自动$_0(\mathfrak{g})/$自动$_e(\mathfrak{g})$

因此是同构。

e) $v: G\rightarrow$ 的核 Aut$_e(\mathfrak{g})$ 等于$T_P\rightarrow T_Q$ 的核；它同构于

坎(P$/Q, k^*$);

这是 G 的中心中包含的有限阿贝尔的群，及其阶除 (P : Q)；如果 $k$ 是代数闭的，它同构于 $P/Q ($代数的对偶，第 1 章。 VII, §4, no. 8）。

f) 令$\alpha \in R, X_{\alpha}\in \mathfrak{g}^{\alpha}$和$X_{-\alpha}\in \mathfrak{g}^{-\alpha}$使得$[X_{\alpha}, X_{-\alpha}] =-H_{\alpha}$，并令$\rho_{\alpha}$为$\mathfrak{g}$上$\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$的相应的表示。如果 E 是 $\mathfrak{g}$ 模，则在 E 上推出 $\mathbf{S}\mathbf{L}(2, k)$ 的 (§1, no. 4) 表示，因此 (Exerc. 25 $b$)$,c))$ 同态

表示形式$\lambda \rightarrow t^{\lambda(H_{\alpha})},t\in k^*$$T_P$的Im($\varphi_{\alpha}$)包含元素。推导出 Im($\varphi_{\alpha}$)$,\alpha \in B$, 生成 G（首先显示群它们生成包含 $T_P$）。特别地，G是由$e^n$、$n\in \mathfrak{g}^{\alpha}$、$\alpha \in B\cup -B$生成的。 G 的导出群等于 G。

g) 如果G的子群$G'$使得$v(G') =$Aut$_e(\mathfrak{g})$，则$G'= G$（使用$f$）$)$。 h) 令E为忠实的$\mathfrak{g}$模块，并令$\Gamma$为由E的权生成的P的子群。然后$P\supset \Gamma \supset Q$，cf.执行。 5.证明典范同态$G\rightarrow \mathbf{G}\mathbf{L}(E)$的核等于$T_P$由……组成的元素$\varphi$的子群，其中限制到$\Gamma$是平凡的。特别是，如果 $\Gamma$ = P 同态 $G\rightarrow \mathbf{G}\mathbf{L}(E)$ 是单射的。如果 $\Gamma$ = Q，则此同态因式分解为 G $\longrightarrow^v$ Aut$_e(\mathfrak{g})\longrightarrow \mathbf{G}\mathbf{L}(E)$，并且同态 Aut$_e(\mathfrak{g})\rightarrow \mathbf{G}\mathbf{L}(E)$ 是单射的。