Bài tập 26, § 7

Áp dụng các ký hiệu và kết quả của Bài tập 25 cho trường hợp $\mathfrak{a}=\mathfrak{g}$ (trường hợp tách).

a) Cho $x\in G$ và đặt $\sigma =v(x)$ là ảnh của nó trong Aut($\mathfrak{g}$). Nếu $\rho$ là một biểu diễn của $\mathfrak{g},\rho$ và $\rho \circ \sigma$ là tương đương. Suy ra (x. no. 2, Nhận xét 1) rằng $\sigma$ thuộc Aut$_0(\mathfrak{g})$. Mở rộng kết quả này cho các đại số nửa đơn tùy ý.

b) Cho $\varphi \in T_P=$ Hom(P$, k^*$), trong đó P = P(R). Nếu E là một $\mathfrak{g}$-môđun, đặt $\varphi_E$ là tự đồng cấu của E mà hạn chế lên mỗi $E^{\lambda}(\lambda \in P)$ là phép vị tự có tỉ số $\varphi (\lambda )$. Chứng minh rằng tồn tại một phần tử duy nhất $t(\varphi )\in G$ sao cho $t(\varphi )_E=\varphi_E$ với mọi E (Dùng Bài tập $24c$), và các đặc trưng (ii) và (vi) của Bài tập 25.) Điều này cho một đồng cấu $t: T_P\rightarrow G$. Chứng minh rằng $t$ là đơn ánh. Ta dùng điều này để đồng nhất $T_P$ với một nhóm con của G. Hợp thành $T_P\rightarrow G\rightarrow$ Aut($\mathfrak{g}$) là đồng cấu được ký hiệu bởi $f\circ q$ trong §5, no. 2.

c) Cho $x\in G$ sao cho $\sigma =v(x)$ thuộc nhóm con $f(T_Q)$ của Aut$_0(\mathfrak{g})$ (§5, no. 2), nói cách khác, sao cho nó tác động tầm thường trên $\mathfrak{h}$; ký hiệu bởi $\psi$ phần tử của $T_Q=$ Hom(Q$, k^*$) tương ứng với $x$. Ta sẽ chỉ ra rằng $x$ thuộc $T_P$. Hãy chứng minh lần lượt:

$c_1)$ Nếu E là một $\mathfrak{g}$-môđun, thì $x_E$ là một $\mathfrak{h}$-tự đồng cấu của E.

(Dùng $\mathfrak{g}$-đồng cấu $\mathfrak{g}\otimes E\rightarrow E$, và sự kiện rằng $x$ tác động tầm thường trên $\mathfrak{h}.$) Đặc biệt, các $E^\mu$ là ổn định dưới $x_E$.

$c_2)$ Tồn tại $\varphi \in T_P$ sao cho, với mọi $\mathfrak{g}$-môđun E, và mọi phần tử nguyên thủy $e$ của E có trọng số $\lambda$, ta có $x_Ee=\varphi (\lambda )e$.

(Chọn $\varphi$ sao cho quan hệ này đúng khi E là một môđun cơ bản $E(\varpi_{\alpha})$. Suy ra trường hợp của các $E(\lambda ),\lambda \in P_{++}$, bằng cách dùng phép nhúng của

$^{16*}$Trong trường hợp này, có thể chỉ ra rằng $U'$ là bigebra của nhóm đại số nửa đơn đơn liên A có đại số Lie là $\mathfrak{a}$, và rằng G là nhóm các

$k$-điểm của $A$.\* một môđun như thế trong một tích tenxơ của các $E(\varpi_{\alpha})$. Từ đó chuyển sang trường hợp tổng quát.)

$c_3)$ Chọn $\varphi$ như trong $c_2)$. Cho E là một $\mathfrak{g}$-môđun đơn có trọng số cao nhất $\lambda$, và cho $\mu$ là một trọng số của E; khi đó $\lambda -\mu\in Q$. Chứng minh rằng hạn chế của $x_E$ lên $E^\mu$ là phép vị tự với tỷ số $\varphi (\lambda )\psi (\mu-\lambda )$. (Cùng phương pháp như đối với $c_1$)$.)$

$c_4)$ Nếu $\lambda , \mu\in P_{++}$, và nếu $\alpha \in B$ không trực giao với cả $\lambda$ lẫn $\mu$, thì

nên $\varphi (\alpha ) =\psi (\alpha )$. (Dùng $c_2$)$,c_3)$, và phép nhúng của $E(\lambda +\mu-\alpha )$ vào $E(\lambda )\otimes E(\mu)$, xem Bài tập 17.)

$c_5)$ Suy ra từ $c_4)$ rằng $\varphi |Q =\psi$, và dùng $c_3)$ để suy ra rằng $x=t(\varphi )$. d) Đồng nhất $T_Q$ với một nhóm con của Aut$_0(\mathfrak{g})$ bằng $f$. Theo a), ta có

Aut$_e(\mathfrak{g})\subset v(G)\subset$ Aut$_0(\mathfrak{g})$

và, theo $c),v(G)\cap T_Q=$ Im(T$_P$). Suy ra (xem §5, no. 3) rằng Aut$_e(\mathfrak{g})\cap T_Q=$ Im(T$_P$) và $f(G) =$ Aut$_e(\mathfrak{g})$. Ánh xạ chính tắc

$\iota : T_Q/$Im(T$_P$)$\rightarrow$ Aut$_0(\mathfrak{g})/$Aut$_e(\mathfrak{g})$

do đó là một đẳng cấu.

e) Hạt nhân của $v: G\rightarrow$ Aut$_e(\mathfrak{g})$ bằng hạt nhân của $T_P\rightarrow T_Q$; nó đẳng cấu với

Hom(P$/Q, k^*$);

đó là một nhóm Abel hữu hạn được chứa trong tâm của G, và cấp của nó chia hết cho (P : Q); nếu $k$ đóng đại số, nó đẳng cấu với đối ngẫu của $P/Q ($Đại số, Chương VII, §4, no. 8).

f) Cho $\alpha \in R, X_{\alpha}\in \mathfrak{g}^{\alpha}$ và $X_{-\alpha}\in \mathfrak{g}^{-\alpha}$ sao cho $[X_{\alpha}, X_{-\alpha}] =-H_{\alpha}$, và cho $\rho_{\alpha}$ là biểu diễn tương ứng của $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$ trên $\mathfrak{g}$. Nếu E là một $\mathfrak{g}$-môđun, suy ra (§1, no. 4) một biểu diễn của $\mathbf{S}\mathbf{L}(2, k)$ trên E, và do đó (Bài tập 25 $b$)$,c))$ một đồng cấu

Chứng tỏ rằng Im($\varphi_{\alpha}$) chứa các phần tử của $T_P$ có dạng $\lambda \rightarrow t^{\lambda(H_{\alpha})},t\in k^*$. Suy ra rằng các Im($\varphi_{\alpha}$)$,\alpha \in B$, sinh ra G (trước hết hãy chứng tỏ rằng nhóm do chúng sinh ra chứa $T_P$). Đặc biệt, G được sinh bởi các $e^n$, với $n\in \mathfrak{g}^{\alpha}$, $\alpha \in B\cup -B$. Nhóm dẫn xuất của G bằng G.

g) Nếu một nhóm con $G'$ của G sao cho $v(G') =$ Aut$_e(\mathfrak{g})$, thì $G'= G$ (dùng $f$)$)$. h) Cho E là một $\mathfrak{g}$-môđun trung thành, và cho $\Gamma$ là nhóm con của P sinh bởi các trọng của E. Khi đó $P\supset \Gamma \supset Q$, xem Bài tập 5. Chứng tỏ rằng hạt nhân của đồng cấu chính tắc $G\rightarrow \mathbf{G}\mathbf{L}(E)$ bằng nhóm con của $T_P$ gồm các phần tử $\varphi$ mà hạn chế của chúng lên $\Gamma$ là tầm thường. Đặc biệt, nếu $\Gamma$ = P thì đồng cấu $G\rightarrow \mathbf{G}\mathbf{L}(E)$ là đơn ánh. Nếu $\Gamma$ = Q, đồng cấu này phân tích qua G $\longrightarrow^v$ Aut$_e(\mathfrak{g})\longrightarrow \mathbf{G}\mathbf{L}(E)$, và đồng cấu Aut$_e(\mathfrak{g})\rightarrow \mathbf{G}\mathbf{L}(E)$ là đơn ánh.