习题 19, § 7

我们回想一下提案 10 的记号。 设$\overline{k}$为$k$的代数闭包。 如果$x\in \mathfrak{g}$，则用$\overline{k}$中$x_E$（分别$x_F$，分别$x_G$）特征值的$\mathscr{X}_E(x)$（分别$\mathscr{X}_F(x)$，分别$\mathscr{X}_G(x)$）集合表示。 证明对于所有 $x\in \mathfrak{g}$ 都有 $\mathscr{X}_G(x) =\mathscr{X}_E(x) +\mathscr{X}_F(x)$，并且当给定 E 和 F 时，这个性质表征了简单的 $\mathfrak{g}$ 模 G 到同构。