习题 7, § 7

如果$\lambda \in P_{++}$，则表示为$\rho_{\lambda}: U(\mathfrak{g})\rightarrow$End(E($\lambda$))表示，由单模$E(\lambda )$定义。我们有 Im($\rho_{\lambda}$) $=$ End(E($\lambda$ ));把$\mathfrak{m}_{\lambda}=$ Ker($\rho_{\lambda}$)。 a) 证明$\mathfrak{m}_{\lambda}$是两两不同的，并且它们是$U(\mathfrak{g})$的唯一双面理想$\mathfrak{m}$，使得$U(\mathfrak{g})/\mathfrak{m}$是有限维简单$k$代数。

b) 如果I是$P_{++}$中的有限子集，则放入$\mathfrak{m}_I=\bigcap_{\lambda\in I}\mathfrak{m}_{\lambda}$。证明规范的映射 $U(\mathfrak{g})/\mathfrak{m}_I\rightarrow \prod_{\lambda\in I}U(\mathfrak{g})/\mathfrak{m}_{\lambda}$ 是同构，并且每两个边

有限余维的理想$U(\mathfrak{g})$恰好等于$\mathfrak{m}_I$之一。

c) 证明$U(\mathfrak{g})$ 变换 $\mathfrak{m}_{\lambda}$ 到$\mathfrak{m}_{\lambda^*}$ 的主要反自同构，其中$\lambda^*=-w_0\lambda$（cf. 命题11）。