Bài tập 7, § 7

Nếu $\lambda \in P_{++}$, ký hiệu $\rho_{\lambda}: U(\mathfrak{g})\rightarrow$ End(E($\lambda$ )) là biểu diễn được xác định bởi môđun đơn $E(\lambda )$. Ta có Im($\rho_{\lambda}$) $=$ End(E($\lambda$ )); đặt $\mathfrak{m}_{\lambda}=$ Ker($\rho_{\lambda}$). a) Chứng minh rằng các $\mathfrak{m}_{\lambda}$ từng đôi một phân biệt, và chúng là các iđêan hai phía duy nhất $\mathfrak{m}$ của $U(\mathfrak{g})$ sao cho $U(\mathfrak{g})/\mathfrak{m}$ là một $k$-đại số đơn hữu hạn chiều.

b) Nếu I là một tập con hữu hạn của $P_{++}$, đặt $\mathfrak{m}_I=\bigcap_{\lambda\in I}\mathfrak{m}_{\lambda}$. Chứng minh rằng ánh xạ chính tắc $U(\mathfrak{g})/\mathfrak{m}_I\rightarrow \prod_{\lambda\in I}U(\mathfrak{g})/\mathfrak{m}_{\lambda}$ là một đẳng cấu, và rằng mọi iđêan hai phía của $U(\mathfrak{g})$ có đối chiều hữu hạn đều bằng đúng một trong các $\mathfrak{m}_I$.

c) Chứng minh rằng tự đẳng cấu phản của $U(\mathfrak{g})$ biến $\mathfrak{m}_{\lambda}$ thành $\mathfrak{m}_{\lambda^*}$, trong đó $\lambda^*=-w_0\lambda$ (cf. Prop. 11).