Bourbaki

习题 1, § 7

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李群与李代数, VIII, 238

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设 ω∈P++\omega \in P_{++}；用 E(ω)E(\omega ) 权 S(ω)S(\omega ) 集合表示，其他字最小的 R 饱和 P 包含 ω\omega 子集（命题 5）。如果λ∈S(ω)\lambda \in S(\omega )，我们有λ≡ω\lambda \equiv \omega（mod.Q）。相反，令 λ∈P\lambda \in P 满足 λ≡ω\lambda \equiv \omega (mod. Q)；证明等价以下性质： (i) λ∈S(ω)\lambda \in S(\omega )；

(ii) ω−wλ∈Q+\omega -w\lambda \in Q_+ 对于所有 w∈Ww\in W；

(iii) λ\lambda属于到hR∗\mathfrak{h}^*_{\mathbf{R}}中W.ωW.\omega的凸包。

（证明（iii）=⇒=\Rightarrow（ii），注，ω−wω\omega -w\omega是R+R_+的元素的线性组合，系数为≥0\geq 0；通过凸性推导出ω−wλ\omega -w\lambda具有相同的性质；因为ω−wλ\omega -w\lambda属于到Q，这意味着ω−wλ∈Q+\omega -w\lambda \in Q_+。证明(ii)=⇒=\Rightarrow(i)，选择ww使得wλ∈P++w\lambda \in P_{++}，并应用第3条的Cor.2。含义(i)=⇒=\Rightarrow(iii)是直接的。）

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