Bài tập 1, § 7

Cho $\omega \in P_{++}$; ký hiệu $S(\omega )$ là tập hợp các trọng số của $E(\omega )$, nói cách khác là tập con R-bão hòa nhỏ nhất của P chứa $\omega$ (Mệnh đề 5). Nếu $\lambda \in S(\omega )$, ta có $\lambda \equiv \omega$ (mod. Q). Ngược lại, cho $\lambda \in P$ sao cho $\lambda \equiv \omega$ (mod. Q); hãy chứng minh sự tương đương của các tính chất sau: (i) $\lambda \in S(\omega )$;

(ii) $\omega -w\lambda \in Q_+$ với mọi $w\in W$;

(iii) $\lambda$ thuộc bao lồi của $W.\omega$ trong $\mathfrak{h}^*_{\mathbf{R}}$.

(Để chứng minh rằng (iii) $=\Rightarrow$ (ii), nhận xét rằng $\omega -w\omega$ là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử của $R_+$ với các hệ số $\geq 0$; suy ra, bằng tính lồi, rằng $\omega -w\lambda$ có cùng tính chất; vì $\omega -w\lambda$ thuộc Q, điều này suy ra rằng $\omega -w\lambda \in Q_+$. Để chứng minh rằng (ii) $=\Rightarrow$ (i), chọn $w$ sao cho $w\lambda \in P_{++}$, và áp dụng Hệ quả 2 của Mệnh đề 3. Sự kéo theo (i) $=\Rightarrow$ (iii) là ngay lập tức.)