习题 5, § 9

a) 令$\alpha \in R, x\in \mathfrak{g}^{\alpha}, y\in \mathfrak{g}^{-\alpha}$，并令E为$\mathfrak{g}$模。证明，对于所有 $\lambda \in P$，

Tr(($xy$)$_E|E^{\lambda}$)$=$Tr(($xy$)$_E|E^{\lambda+\alpha}$)$+\lambda ([x, y])$暗淡$E^{\lambda}$。

推断出

$\sum_{\lambda\in P}\lambda ([x, y])$ 昏暗$E^{\lambda}. e^{\lambda}= (1-e^{-\alpha})\sum_{\lambda\in P}$ Tr(($xy$)$_E|E^{\lambda}$)$. e^{\lambda}$。

b) 给出 $\mathfrak{h}^*$ 一个非简并 W 不变对称双线性形式 $\langle ,\rangle$。令$\Delta$为向量空间$k[P]$中的自同态，使得$\Delta (e^\mu) =\langle \mu, \mu\rangle e^\mu$对于所有$\mu\in P$；如果 $a, b\in k[P]$，则将

证明

$\Delta (J(e^\mu)) =\langle \mu, \mu\rangle J(e^\mu)$ 对应$\mu\in P$，

$\Delta '(e^{\lambda}, e^\mu) = 2\langle \lambda , \mu\rangle e^{\lambda+\mu}$ 为 $\lambda , \mu\in P$，

$\Delta '(ab, c) =a\Delta '(b, c) +b\Delta '(a, c)$ 换$a, b, c\in k[P]$。

c) 令 $\lambda \in P_{++},c_{\lambda}=$ ch(E($\lambda$ )) 和 $d= J(e^{\rho})$。证明

（使用$a$）$,b)$、§6、Cor。提案 7 和章。 VI, §3, no. 3、公式 (3)。）

d) 从上述和§7, no. 2，命题 5 (iii) 中推导出 H. Weyl 的公式另一个证明。

e) 对于所有 $\lambda \in \mathfrak{h}^*$，将 $E^{\lambda}=m(\lambda )$ 调暗。从 a) 推出

Tr(($xy$)$_E|E^{\lambda}$)$=\sum^{+\infty}_{i=0}(\lambda +i\alpha )([x, y])m(\lambda +i\alpha )$

f) 令$\langle \cdot ,\cdot \rangle$为$\mathfrak{g}$上的非简并不变对称双线性形式，其限制到$\mathfrak{h}$是上面选择的形式的逆。令$\Gamma$为相应的卡西米尔元素。假设E是简单的；将$\Gamma_E=\gamma .1$放入$\gamma \in k$。通过使用 e) 和§2, no. 3，命题 6，证明

对于所有$\lambda \in \mathfrak{h}^*$，然后

g) 继续假设E是简单的；设$\omega$为其最高权。从 f) 推出，对于所有 $\lambda \in \mathfrak{h}^*$，

（回想一下，根据§$7,\langle \omega +\rho , \omega +\rho \rangle >\langle \lambda +\rho , \lambda +\rho \rangle$的命题5，如果$\lambda$是与$\omega$不同的E的权。前面的公式因此给出了逐步计算$m(\lambda )$的过程。）$^{18}$