习题 10, § 7

令$\Gamma$为P包含Q的子群。这样子群在W下是稳定的。

a) 证明，如果$\lambda \in P_{++}\cap \Gamma$，$E(\lambda )$属于到$\Gamma$的每权。

b) 设$R_{\Gamma}(\mathfrak{g})$为$R(\mathfrak{g})$的子群，其中基为$[\lambda ]$，$\lambda \in P_{++}\cap \Gamma$。如果E是$\mathfrak{g}$模，$[E]\in R_{\Gamma}(\mathfrak{g})$当且仅当E属于到$\Gamma$的权。推断$R_{\Gamma}(\mathfrak{g})$ 是$R(\mathfrak{g})$ 的子环。

c) Show that the homomorphism ch$: R_{\Gamma}(\mathfrak{g})\rightarrow \mathbf{Z}[\Gamma ]$ is an isomorphism from $R_{\Gamma}(\mathfrak{g})$ to the subring of $\mathbf{Z}[\Gamma ]$ consisting of the elements invariant under W. (Use Th. 2 (ii).)

d) 当$\mathfrak{g}=\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$和$\Gamma = Q$时，明确描述$R(\mathfrak{g})$和$R_{\Gamma}(\mathfrak{g})$。