Bài tập 10, § 7

Cho $\Gamma$ là một nhóm con của P chứa Q. Một nhóm con như vậy là ổn định dưới tác động của W.

a) Chứng minh rằng, nếu $\lambda \in P_{++}\cap \Gamma$, mọi trọng số của $E(\lambda )$ đều thuộc $\Gamma$.

b) Cho $R_{\Gamma}(\mathfrak{g})$ là nhóm con của $R(\mathfrak{g})$ có cơ sở là các $[\lambda ]$, với $\lambda \in P_{++}\cap \Gamma$. Nếu E là một $\mathfrak{g}$-môđun, $[E]\in R_{\Gamma}(\mathfrak{g})$ khi và chỉ khi các trọng số của E thuộc $\Gamma$. Suy ra rằng $R_{\Gamma}(\mathfrak{g})$ là một vành con của $R(\mathfrak{g})$.

c) Chứng minh rằng đồng cấu $ch$: $R_{\Gamma}(\mathfrak{g})\rightarrow \mathbf{Z}[\Gamma ]$ là một đẳng cấu từ $R_{\Gamma}(\mathfrak{g})$ lên vành con của $\mathbf{Z}[\Gamma ]$ gồm các phần tử bất biến dưới W. (Dùng Định lý 2 (ii).)

d) Mô tả tường minh $R(\mathfrak{g})$ và $R_{\Gamma}(\mathfrak{g})$ khi $\mathfrak{g}=\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$ và $\Gamma = Q$.