习题 18, § 1

假设 $k=\mathbf{R},\mathbf{C}$ 或域对于离散评估来说是完整的，并且具有特征 $p\not= 0$ 的剩余类域（对于例 $p$-adic 域 $\mathbf{Q}_p$ 的有限扩张）。

a) 令$\mathfrak{n}$为幂零李代数，N李群是通过给$\mathfrak{n}$赋予Hausdorff律（第III, §9, no. 5章）而获得的，以及$\mathfrak{n}$在有限维向量空间E上的$\rho :\mathfrak{n}\rightarrow \mathfrak{g}\mathfrak{l}(E)$线性表示。假设$\rho (x)$对于所有$x\in \mathfrak{n}$都是幂幂的，并放入$\pi (x) =$ exp($\rho (x)$)。证明 $\pi$ 是李群 $\varphi : N\rightarrow \mathbf{G}\mathbf{L}(E)$ 中唯一能够满足 $L(\varphi ) =\rho$ 的同态。

（当$k=\mathbf{R}$或$\mathbf{C}$时，利用N连通的事实。当$k$是超度量时，证明$\varphi (x),x\in N$的特征值等于1；为此，首先证明，如果$k'$是$k$的有限扩张，并且如果$(\lambda_1, . . . , \lambda_n, . . .)$ 是$k'$ 的元素的序列，使得$\lambda_n=\lambda^p_{n+1}$ 对于所有$n$ 和$\lambda_1= 1$，然后$\lambda_n= 1$ 对于所有$n.$）

b) 令$\rho :\mathfrak{s}\rightarrow \mathfrak{g}\mathfrak{l}(E)$为$\mathfrak{s}$的有限维线性表示，并令$\pi$为同态，从$\mathbf{S}\mathbf{L}(2, k)$到$\mathbf{G}\mathbf{L}(E)$与$\rho$（no. 4）相容的。证明 $\pi$ 是李群 $\varphi :\mathbf{S}\mathbf{L}(2, k)\rightarrow$ $\mathbf{G}\mathbf{L}(E)$ 的唯一同态，使得 $L(\varphi ) =\rho$。 （使用$a$）证明$\pi$和$\rho$重合在exp($n$)上，$n$在$\mathfrak{s}$幂零的，注证明$\mathbf{S}\mathbf{L}(2, k)$是由经验($n$)$.)$