习题 2, § 1

设$\lambda \in k$，设$Z(\lambda )$为向量空间，具有基$(e_n)$，且$n= 0,1, . .$.，并设$X_+, X_-, H$为由第1条的公式(2)定义的$Z(\lambda )$的自同态。

a) 验证这是否在 $Z(\lambda )$ 上给出了 $\mathfrak{s}$ 模块结构。

b) 假设$\lambda$不是整数$\geq 0$。证明$\mathfrak{s}$-模块$Z(\lambda )$很简单。

c) 假设$\lambda$为整数$\geq 0$。令$Z'$为$e_n,n > \lambda$生成的$Z(\lambda )$中的子空间。证明$Z'$是$Z(\lambda )$的$\mathfrak{s}$子模，与$Z(-\lambda -2)$同构的，并且商$Z(\lambda )/Z'$同构于简单的$\mathfrak{s}$-模$V(\lambda )$。证明$Z(\lambda )$唯一的$\mathfrak{s}$子模块是$0,Z'$和$Z(\lambda )$。