Bài tập 2, § 1

Cho $\lambda \in k$, gọi $Z(\lambda )$ là một không gian vectơ có một cơ sở $(e_n)$, với $n= 0,1, . .$., và gọi $X_+, X_-, H$ là các nội tự đồng cấu của $Z(\lambda )$ được xác định bởi các công thức (2) của Mệnh đề 1.

a) Hãy kiểm tra rằng điều này xác định một cấu trúc $\mathfrak{s}$-môđun trên $Z(\lambda )$.

b) Giả sử rằng $\lambda$ không phải là một số nguyên $\geq 0$. Chứng minh rằng $\mathfrak{s}$-môđun $Z(\lambda )$ là đơn.

c) Giả sử rằng $\lambda$ là một số nguyên $\geq 0$. Gọi $Z'$ là không gian con của $Z(\lambda )$ sinh bởi các $e_n,n > \lambda$. Chứng minh rằng $Z'$ là một $\mathfrak{s}$-môđun con của $Z(\lambda )$, đẳng cấu với $Z(-\lambda -2)$, và thương $Z(\lambda )/Z'$ đẳng cấu với $\mathfrak{s}$-môđun đơn $V(\lambda )$. Chứng minh rằng các $\mathfrak{s}$-môđun con duy nhất của $Z(\lambda )$ là $0,Z'$ và $Z(\lambda )$.