Bourbaki

习题 4, § 2

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李群与李代数, VIII, 227

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设(g,h)(\mathfrak{g},\mathfrak{h})为分裂的半单李代数，(Xα)α∈R(X_{\alpha})_{\alpha\in R}为元素满足条件的引理2。如果α,β∈R\alpha , \beta \in R和α+β∈R\alpha +\beta \in R，定义NαβN_{\alpha \beta} 公式 [Xα,Xβ]=NαβXα+β[X_{\alpha}, X_{\beta}] = N_{\alpha \beta}X_{\alpha+\beta}；如果α+β∉R\alpha +\beta \notin R，则放入Nαβ=0N_{\alpha \beta}= 0。证明以下公式：

a)Nαβ=−Nβα a) N_{\alpha \beta}=-N_{\beta \alpha}

b) 如果α,β,γ∈R\alpha , \beta , \gamma \in R使得α+β+γ=0\alpha +\beta +\gamma = 0，那么

NαβNβγNγα N_{\alpha \beta}N_{\beta \gamma}N_{\gamma \alpha}
⟨γ,γ⟩‾=⟨α,α⟩‾=⟨β,β⟩‾ \overline{\langle\gamma , \gamma\rangle}=\overline{\langle\alpha , \alpha\rangle}=\overline{\langle\beta , \beta\rangle}

c) 如果 α,β,γ,δ∈R\alpha , \beta , \gamma , \delta \in R 满足 α+β+γ+δ=0\alpha +\beta +\gamma +\delta = 0，并且没有对有和零，我们有：

NαβNγδNβγNαδNγαNβδ N_{\alpha \beta}N_{\gamma \delta}N_{\beta \gamma}N_{\alpha \delta}N_{\gamma \alpha}N_{\beta \delta}

+ + =0= 0。

⟨γ+δ,γ+δ⟩‾⟨α+δ,α+δ⟩‾⟨β+δ,β+δ⟩‾ \overline{\langle\gamma + \delta , \gamma + \delta\rangle}\overline{\langle\alpha + \delta , \alpha +\delta\rangle}\overline{\langle\beta + \delta , \beta + \delta\rangle}
解答

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