对于 $x \in M$ 和 $w \in \wedge^{m-1}(M)$。此外，我们还有关系

令$(e_i)_{i \in I}$为M的基；我们赋予集合I总共阶。对于I、集合$e_J = e_{i_1} \wedge \cdots \wedge e_{i_r}$的任何子集 J，其中$(i_1, \ldots, i_r)$是递增阶中J的元素的序列。 L模$\wedge^{m-p}(M)$承认为基元素$e_S$，其中S通过I的子集的集合和$m - p$元素； $\wedge^m(M)$ $\{e_I\}$ 为基。因而，存在 $\operatorname{Hom}_L(\wedge^{m-p}(M), \wedge^m(M))$ 由……组成线性映射 $e_J^*$ 的基，其特征为公式

其中 J 穿过集合或子集或 I，其中 p 元素。从 III, §7, No. 8、p. 519 的公式 (20) 可以得出，对于 I 的每一个子集 J 以及 p 元素，我们有 $h_p(e_J) \in \{e_J^*, -e_J^*\}$；由于$\wedge^p(M)$的元素$e_J$形式基，线性映射$h_p$是双射的。

现在让我们证明命题 1。令 u 和 $\tilde{u}$ 为 M 的自同态。关系 (3) 等价于

映射$h_1$是从M到$\operatorname{Hom}_L(\wedge^{m-1}(M), \wedge^m(M))$乘引理1的同构。因而，对于M的每个自同态u，都存在M满足关系的唯一内同态$\tilde{u}$ (3)。

令$x_1, . . . , x_m$为M的元素。让我们在(3)中将替换$x$与$u(x_1)$以及$w$与$x_2\wedge \cdots \wedge x_m$进行计算；我们得到

$\widetilde{u}(u(x_1))\wedge x_2\wedge \cdots \wedge x_m=u(x_1)\wedge \cdots \wedge u(x_m) =$ det($u$)$x_1\wedge \cdots \wedge x_m$。

因而，$h_1(\widetilde{u}\circ u(x_1)) =h_1$(det($u$)$x_1$)，通过引理 1 得到关系 $\widetilde{u}\circ u=$ det($u$)$_M$。

我们用U自同态$X-\overline{u}$表示L[X]-模块M[X]（VIII，p. 335）。将上述应用于U，存在满足关系的L[X]-模块M[X]的自同态$\widetilde{U}$

对于 M 中的 $x_1, . . . , x_m$ 和

(10)$\widetilde{U}\circ U =$det(X$-\overline{u}$)$_{M[X]}$。

让我们将 $\widetilde{U}$ 视为 End(M)[X] 的元素 (VIII, p. 9);通过公式 (9) 和引理 1，它有次数 $\leqslant m-1$，所以我们可以将其写为

其中$u_r$是M的自同态。通过公式(2)，关系(10)给出等式

在环结束(M)[X]。通过求X各边的单项式系数，我们得到关系

(13) $u_r+u_{r-1}\circ u=c_r(u)_M$ 为 $1\leqslant r\leqslant m-1$

和

由此，我们推论

现在，当我们认同常数项时，等式（9）和（11）意味着$u_{m-1}=\widetilde{u}$； 公式 (6)如下。

特别是，$u$生成的End(M)的$\widetilde{u}$属于到子代数，因此与$u$交换。我们已经建立了关系 $\widetilde{u}\circ u=$ det($u$)$_M$； 公式 (4)如下。

最后，令$x_1, . . . , x_m$为M的元素。我们在公式(3)中将替换$x$与$x_1$以及$w$与$\widetilde{u}(x_2)\wedge \cdots \wedge \widetilde{u}(x_m)$进行组合。这给出了

= det($u$)$^{m-1}x_1\wedge x_2\wedge \cdots \wedge x_m$

因此公式 (5)。

A) P 的唯一性由下面的引理 2 得出。

令 $\mathscr{I}$ 为 K[X] 中不可约模多项式的集合。由于 P 和 Q 是单调的，因此存在 $\mathbf{N}^{(\mathscr{I})}$ 的元素 $(a_F)$ 和 $(b_F)$，因此我们有 $P =\prod_{F\in\mathscr{I}}F^{a_F}$ 和 $Q =\prod_{F\in\mathscr{I}}F^{b_F}$。从等式$P^s= Q^s$和分解的唯一性到不可约的因子，我们对每个$F\in \mathscr{I}$都有$sa_F=sb_F$。由于$s$严格为正，因此对于每个$F\in \mathscr{I}$我们都有$a_F=b_F$，因此P = Q。

B) 现在让我们证明 P 的存在性。

由VIII、p. 252的定理 1，存在有限次数的K的伽罗瓦扩张L和L代数$\theta : A_{(L)}\rightarrow \mathbf{M}_n(L)$的同构。由III, §9, No. 1、p. 542的公式(12)，多项式Pc($a; X$)也是L-代数$A_{(L)}$的元素$1\otimes a$的特征多项式，因此为元素 L代数$\mathbf{M}_n(L)$的$\theta (1\otimes a)$。

集合 P(X) = det(X$I_n-\theta (1\otimes a)$);它是 L[X] 中的一元多项式。到例 3 of III, §9, No. 3, p. 545，我们有

（19）电脑（$a; X$）$= P(X)^n$。

设G为K上的L伽罗瓦群。对于$\sigma \in G$，用环L[X]$\overline{\sigma}$自同构表示重合和L上的$\sigma$并固定X。那么 K[X] 是 L[X] 的多项式 Q 的集合，这样对于每个 $\sigma \in G$，我们都有 $\overline{\sigma}(Q) = Q$（V, §10, No. 1、p. 56、定理 1）。由于多项式 Pc($a; X$) $= P(X)^n$ 属于到 K[X]，对于每个$\sigma \in G$，我们有 $\overline{\sigma}(P)^n= P^n$。因此，到引理 2 时，每 $\sigma \in G$ 就有 $\overline{\sigma}(P) = P$，因此 P 属于到 K[X]。

A 的元素 $a$ 可逆当且仅当其范数为非零的 (III, §9, No. 4, p. 545, 命题 3)。因此，命题 3 由公式 (24) 得出。

(28) Pcrd$_{A_{(L)}/L}(1\otimes a; X) =$ Pcrd$_{A/K}(a; X)$,

（29）Trd$_{A_{(L)}/L}(1\otimes a) =$Trd$_{A/K}(a)$，

(30) Nrd$_{A_{(L)}/L}(1\otimes a) =$ Nrd$_{A/K}(a)$

（“标量在扩张下的不变性”）。

等式(28)的两侧有相同的$n$第幂乘以定义(VIII、p. 340的公式(20))和关系

Pc$_{A_{(L)}/L}(1\otimes a; X) =$ Pc$_{A/K}(a; X)$（III, §9, No. 3，p. 544，公式（21））。因此，等式 (28) 由VIII、p. 339 中的引理 2 得出。 公式 (29) 和 (30) 由 (28)、(21) 和 (22) 得出。

（31）Pcrd$_{A/K}(a; X) =\chi_{\theta(a)}(X)$，

（32）Trd$_{A/K}(a) =$Tr（$\theta (a)$），

（33）Nrd$_{A/K}(a) =$det（$\theta (a)$）。

令$\theta '$为从$A_{(L)}$到End$_L(V)$的L代数同态，使得$\theta '(\lambda \otimes a) =\lambda \theta (a)$对应于$\lambda \in L$和$a\in A$。 代数 $A_{(L)}$ 由VIII、p. 222的推论2简单；因此同态 $\theta '$ 是单射的。但是代数$A_{(L)}$和域L上的End$_L(V)$具有相同的次数，等于$n^2$，所以$\theta '$是同构。然后从上面的命题4和例2得出推论1。

（34）Pcrd$_{A/K}(a;a) = 0$，

（35）Pcrd$_{A/K}(\lambda a;\lambda X) =\lambda^n$ Pcrd$_{A/K}(a; X)$，

（36）Trd$_{A/K}(a+a') =$Trd$_{A/K}(a) +$Trd$_{A/K}(a')$，

Trd$_{A/K}(\lambda a) =\lambda$ Trd$_{A/K}(a)$,

(37) 特德$_{A/K}(aa') =$ 特德$_{A/K}(a'a)$,

(38) Nrd$_{A/K}(aa') =$ Nrd$_{A/K}(a)\cdot$ Nrd$_{A/K}(a')$,

Nrd$_{A/K}(\lambda a) =\lambda^n$ Nrd$_{A/K}(a)$,

（39）Trd$_{A/K}(1) =n$，Nrd$_{A/K}(1) = 1$。

由于 A 是中心简单且已在 K 上约简次数 $n$，因此存在 K 的扩张 L 和 L 上的维数 $n$ 的向量空间 V，使得 $A_{(L)}$ 为同构于代数 End$_L(V)$ (VIII, p. 252, 定理 1)。然后推论 2 由推论 1 以及自同态的迹和行列式的性质得出。特别是，公式 (34) 源自 Cayley–Hamilton 定理（III, §8, No. 11、p. 541、命题 20、cf. 以及VIII、p. 338、注 2）。

(40) Pcrd$_{A^o/K}(a; X) =$ Pcrd$_{A/K}(a; X)$,

(41) Trd$_{A^o/K}(a) =$ Trd$_{A/K}(a)$,

(42) Nrd$_{A^o/K}(a) =$ Nrd$_{A/K}(a)$。

K 的选择扩张 L，L 上的维数 $n$ 向量空间 V，以及从 A 到 End$_L(V)$ 的同态 $\theta$ (VIII， p. 252、定理 1)。令$V^*$为V的对偶向量空间。将A的元素$a$发送到$V^*$的自同态$^t\theta (a)$的映射是从$A^o$到End$_L(V^*)$的K-代数同态。推论 3 由III, §8, No. 4、p. 528 的推论 1 和推论 3 推出。

因此，无论我们将$a$视为A的元素还是$A^o$的元素，$a$的迹范数和特征多项式都是相同的。当 A 不假设为中心简单（III, §9、p. 644、习题 1）时，这个性质并不总是成立。

a) 映射 $t:x\mapsto t_x$ 是从 A 到其对偶 Hom$_K(A,K)$ 的 $(A,A)$ 双模的同构。

b) 设 A 上的 $h$ 为线性形式。以下属性是等效的：

(i) 存在 K 的元素 $\lambda$ 使得 $h(x) =\lambda$ Trd$_{A/K}(x)$

对于每个$x\in A$。

(ii) 对于 A 中的所有 $x, y$，我们都有 $h(xy) =h(yx)$。

回想一下 (II, §1, No. 14, p. 225–226)，$A^*=$ Hom$_K(A,K)$ 上的 $(A$, A) 双模结构由关系定义

对于 $a, b, c\in A$ 和 $t\in A^*$。特别是，对于 A 中的每个 $x$，我们有

$\langle at_xb, c\rangle =\langle t_x, bca\rangle =$Trd$_{A/K}(xbca)$,

$\langle t_{axb}, c\rangle =$Trd$_{A/K}(axbc)$,

并且这两个元素等于VIII、p. 342的公式(37)。因此，我们有$at_xb=t_{axb}$，这意味着$t$是$(A$的同态，A)从A到$A^*$的双模。

我们从L代数$A_{(L)}$到矩阵代数$\mathbf{M}_n(L)$（VIII，p. 252）选择扩张L和域K和同构$\theta$， 定理1)。 我们认同向量空间$(A^*)_{(L)}$与向量空间$A_{(L)}$的对偶超过域L。 通过VIII、p. 341的命题 4，根据这些约定，我们有

（44）Trd$_{A_{(L)}/L}= 1_L\otimes$Trd$_{A/K}$。

设$t_{(L)}$为从$A_{(L)}$到$A^*_{(L)}$的L线性映射，由$t$通过扩张标量推导出来；由公式 (44) 和推论 1，我们有

(45) $\langle t_{(L)}(x), y\rangle =$Trd$_{A_{(L)}/L}(xy) =$Tr($\theta (x)\theta (y)$)

对于$A_{(L)}$中的$x, y$。由II, §10, No. 11、p. 358、映射$t_{(L)}$的命题7是双射；由此可见 $t$ 是双射的。我们已经证明了a）。

设$h$在$A^*$中；由上可知，A存在元素$a$，使得$h$等于$t_a$。由a），我们有

因而，关系“A 中$x, y$的$h(xy) =h(yx)$”相当于“每个$x\in$ A 的$t_{ax-xa}= 0$”，并且通过证明的部分 a)，这意味着 $a$ 属于到中心 K A. 鉴于公式 (36)，这证明了 b)。

令 P 和 Q 为 $K[\mathbf{T}]$ 和 $Q\not= 0$ 的元素。 $L[\mathbf{T}]$ 中 P = QR 的多项式 R 的系数是系数为 K 的线性方程的系统的解。 因而，如果存在一个使得 P = QR 的多项式 $R\in L[\mathbf{T}]$，则$K[\mathbf{T}]$ 中也存在一个 (II, §8, No. 5， p. 321、命题 6)。这就证明了包含$K(\mathbf{T})\cap L[\mathbf{T}]\subset K[\mathbf{T}]$；反向包含是显而易见的。

回想一下，A 的元素 $a$ 的简化特征多项式可以写为

（46）Pcrd$_{A/K}(a; X) =\sum_{r=0}^n(-1)^rb_r(a) X^{n-r}$

我们有

$b_0(a) = 1,b_1(a) =$Trd$_{A/K}(a),b_n(a) =$Nrd$_{A/K}(a)$。

令$(e_i)_{i\in I}$为A在K上的基和$\mathbf{T}= (T_i)_{i\in I}$一系列变量。

我们对 K 进行选择扩张 L 以及从 $A_{(L)}$ 到 $\mathbf{M}_n(L)$ 的 L 代数同构 $\theta$。我们用$L(\mathbf{T})$的$\overline{\theta}: A_{(L(\mathbf{T}))}\rightarrow \mathbf{M}_n(L(\mathbf{T}))$同构表示-由标量扩张从$\theta$推导出来的代数。根据VIII、p. 342的推论1，我们有

（47）$P(X) =\chi_{\overline{\theta}(u)}(X) =$ det（X$I_n-\overline{\theta}(u)$）$=$ det$(XI_n-\sum_{i\in I}T_i\theta (1\otimes e_i))$。

从矩阵$\theta (1\otimes e_i)$属于到$\mathbf{M}_n$(L)，这个公式表明P是$L[\mathbf{T},X]$中次数$n$的齐次多项式。它也有属于到$K(\mathbf{T})[X]$，并且可以写成$P(X) =\sum_{j\geqslant 0}c_jX^j$，其中每个$c_j$属于到交$K(\mathbf{T})\cap L[\mathbf{T}]$。 引理 3 个，元素 $c_j$ 属于至 $K[\mathbf{T}]$ 各；接下来是引理 4。

（48）Pcrd$_{A_{(K')}/K'}(\sum_{i\in I}t_i\otimes e_i)= P((t_i)_{i\in I},X)$。

令$\varphi : K[\mathbf{T}]\rightarrow K'$为唯一的K-代数同态，对于每个$i\in I$将$T_i$发送到$t_i$；它在$K[\mathbf{T}$]代数的$K'$结构上定义。 $K'$-代数$A_{(K[\mathbf{T}])(K')}$可以用$A_{(K')}$（标量的扩张的传递性）来识别，其中元素$1\otimes (\sum T_i\otimes e_i)$可以用$A_{(K')}$的元素$\sum t_i\otimes e_i$来识别。我们用从$\varphi$推导出来的$\overline{\varphi}: K[\mathbf{T}][X]\rightarrow K'[X]$K-代数同态来表示。通过III, §9, No. 3、p. 544的公式(21)，$\sum t_i\otimes e_i$关于$K'$-代数$A_{(K')}$的特征多项式是像乘$\overline{\varphi}$关于$\sum T_i\otimes e_i$的特征多项式$K[\mathbf{T}$]-代数$A_{(K[\mathbf{T}])}$，即$P^n$。在其他字中，我们有

（49）PC$_{A_{(K')}/K'}(\sum_{i\in I}t_i\otimes e_i; X)= P((t_i)_{i\in I},X)^n$；

然后从 VIII、p. 339 的引理 2 得出引理 5。

考虑引理 5 的具体情况 $K'= K$。我们有

（50）Pcrd$_{A/K}(\sum_{i\in I}t_ie_i; X)= P((t_i)_{i\in I},X)$

每元素 $(t_i)_{i\in I}$ 共 $K^I$。由于 $K[\mathbf{T},X]$ 中的多项式 P 是次数 $n$ 的齐次，因此它可以唯一展开为

其中$B_r$是次数$r$在$K[\mathbf{T}]$中的齐次多项式。到公式 (46)、(50) 和 (51)，我们有

每元素$(t_i)_{i\in I}$共$K^I$。接下来是命题6。

(52) Pcrd$_{A/K}(a; X) =$ Pc$_{L/K}(a; X)$，

（53）Trd$_{A/K}(a) =$Tr$_{L/K}(a)$，

（54）ND$_{A/K}(a) = N_{L/K}(a)$。

由VIII、p. 262中的命题 3，L模A与$L^n$同构的；因此我们有关系

电脑$_{A/K}(a; X) =$ 电脑$_{L/K}(a; X)^n$。

由于多项式 Pc$_{L/K}(a; X)$ 是单次的，因此它等于约简特征多项式 Pcrd$_{A/K}(a; X)$ (VIII, p. 339, 引理 2)；这给出公式 (52)。通过比较 (52) 两侧的 $X^{n-1}$（分别为常数项）的系数，我们得到公式 (53)（分别为 (54)）。

Pcrd$_{D/K}(a; X) =$ Pc$_{L/K}(a; X)$,

(55) Tr$_{D/K}(a) =$ Tr$_{L/K}(a)$，

Nrd$_{D/K}(a) = N_{L/K}(a)$。

事实上，根据 VIII、p. 265 的推论 2，D 的极大交换子域 L 是 D 的最大交换律半单子代数。