习题 6, § 17

令 D 为域和次数 $m^2$ 的中心 K 在 K 上。令 $x$ 为次数 $n >1$ 的 D 的元素在 K 上，并令 $f(X)$ 为其在 K 上的最小多项式。

a) 证明 D[X] (VIII, p. 11) 中次数 $< n$ 不能的一个单调多项式可以被 $t\in D^*$ 的所有多项式 $X-txt^{-1}$ 整除（观察理想的单调生成元） $\cap (D[X] (X-txt^{-1}))$ 的系数为 K)。

b) 令 $u(X), v(X), w(X)$ 为 D[X] 中的三个单调多项式，使得 $u(X) =$ $v(X)w(X)$ 和 $X-x$ 是 $u(X)$ 的右除子，但不是 $w(X)$。将 $w(X) =$ $q(X) (X-x) +t$ 写成 $t\in D^*$。证明$X-txt^{-1}$是$v(X)$的右除子。

c) 从 a) 和 b) 推导出 D 存在 $n$ 元素 $t_1, . . . , t_n$ 使得我们有

（观察$f(X)$可以被所有多项式$X-txt^{-1}$整除）。

d) 推导出Trd$_{D/K}(x)$（或Nrd$_{D/K}(x)$）是形式$txt^{-1}$的$m$元素的和（或乘积）（VIII的应用命题8， p. 347）。