Exercice 6, § 17

Soit D un corps de centre K et de degré $m^2$ sur K. Soient $x$ un élément de D, de degré $n >1$ sur K, et $f(X)$ son polynôme minimal sur K.

a) Démontrer qu’un polynôme unitaire de D[X] (VIII, p. 10) de degré $< n$ ne peut être divisible à droite par tous les polynômes $X-txt^{-1}$ pour $t\in D^*$ (observer que le générateur unitaire de l’idéal $\cap (D[X] (X-txt^{-1}))$ a ses coefficients dans K).

b) Soient $u(X), v(X), w(X)$ trois polynômes unitaires de D[X] tels que $u(X) =$ $v(X)w$(X), et que $X-x$ soit diviseur à droite de $u(X)$ mais pas de $w$(X), de sorte que $w(X) =q(X) (X-x) +t$ avec $t\in D^*$. Démontrer que $X-txt^{-1}$ est un diviseur à droite de $v(X)$.

c) Déduire de a) et b) qu’il existe $n$ éléments $t_1, . . . , t_n$ de D tels qu’on ait

(remarquer que $f(X)$ est divisible à droite par tous les polynômes $X-txt^{-1}$).

d) En déduire que Trd$_{D/K}(x)$ (resp. Nrd$_{D/K}(x)$) est somme (resp. produit) de $m$ éléments de la forme $txt^{-1}$ (appliquer la prop. 8 de VIII, p. 340).