Bài tập 6, § 17

Cho D là một trường có tâm K và có bậc $m^2$ trên K. Cho $x$ là một phần tử của D có bậc $n >1$ trên K, và cho $f(X)$ là đa thức tối tiểu của nó trên K.

a) Chứng minh rằng một đa thức đơn khởi trong D[X] (VIII, p. 11) có bậc $< n$ không thể chia hết bên phải bởi mọi đa thức $X-txt^{-1}$ với $t\in D^*$ (hãy nhận xét rằng phần tử sinh đơn khởi của iđêan $\cap (D[X] (X-txt^{-1}))$ có các hệ số trong K).

b) Cho $u(X), v(X), w(X)$ là ba đa thức đơn nhất trong D[X] sao cho $u(X) =$ $v(X)w(X)$ và $X-x$ là một ước phải của $u(X)$ nhưng không phải của $w(X)$. Viết $w(X) =$ $q(X) (X-x) +t$ với $t\in D^*$. Chứng minh rằng $X-txt^{-1}$ là một ước phải của $v(X)$.

c) Suy ra từ a) và b) rằng tồn tại $n$ phần tử $t_1, . . . , t_n$ của D sao cho ta có

(quan sát rằng $f(X)$ chia phải hết cho mọi đa thức $X-txt^{-1}$).

d) Suy ra rằng Trd$_{D/K}(x)$ (tương ứng, Nrd$_{D/K}(x)$) là tổng (tương ứng, tích) của $m$ phần tử dạng $txt^{-1}$ (áp dụng Mệnh đề 8 của VIII, p. 347).