习题 12, § 14

令 K 为交换域，完成离散估值$v($Comm。算法，VI）我们假设标准化（即$v(K^*) =\mathbf{Z}$）。用 A 表示 $v$ 的环，用 $\kappa$ 表示其剩余类域。回想一下（前述），如果 L 是 K 的有限扩张，则估值 $v$ 承认唯一的扩张 $v_L$ 到 L；如果$v_L$有整数值，我们就说扩张是无分支的。

a) 令 D 为域且中心 K；设 Nrd$: D\rightarrow K$ 为 D 上的约化范数（VIII，p. 340，定义 2）。证明映射 $w_0=v\circ$ Nrd 是对 D 的估值（证明不等式 $w_0(x+y)\geqslant$ inf($w_0(x), w_0(y)$), 约化对于案例 $y= 1$，并观察 $w_0$ 到 $K(x)$ 的限制是倍数 / $v_{K(x)}$）。用$w$表示D的标准化估值相当于$w_0$。

b) L 的元素 $x$ 在 A 上是积分当且仅当我们有 $w(x)\geqslant 0$；其中集合元素形式子环 B of D.

c) 假设从现在开始域$\kappa$是完美的。证明如果 D 与 K 不同，那么它包含是与 K 不同的 K 的未分支扩张。（在相反的情况下，观察到对于 D 中包含的 K 的每个扩张 L，我们都有 $[\kappa_L:\kappa ] = 1$。令 $b\in B$，并让 $\pi$ 成为 D 的均匀化器。应用前面的注到域$K(b)$，并证明$b$在$A(\pi )$的闭包中。由于子空间$K(\pi )$在D中闭包（EVT，I, §2，n$^o3$，p. 14， 推论 1)，我们得到$B\subset K(\pi )$，最后得到$D = K(\pi ).$) d) 证明存在在 K 上无分支的 D 的极大交换子域。（通过考虑在 K 上无分支的 D 的子域 L，使用归纳法在 D 的约化次数上，并且应用归纳假设到 $D.$)$*$ 中L的交换子