到假设，G 存在元素 $a$，使得$\chi (a)\not= 1$；因为乘法除以$a$是G的置换，我们有

这给出了引理 1。

回想一下 $0^0= 1$ (I, §2, No. 1, p. 14)。假设$m$是$q-1$的倍数。由于阿贝尔的群 $K^*$ 具有阶 $q-1$，因此对于每个 $x\in K^*$ 和 $S_m= 0^m+ (q-1)\cdot 1$，我们都有 $x^m= 1$，在本例中给出断言。

假设$m$不是$q-1$的倍数。 集合 $\chi (x) =x^m$ $x\in K^*$。由于乘法群$K^*$是阶$q-1$的循环（V, §12, No. 1，p. 93，命题1），因此存在$K^*$的元素$a$使得$\chi(a) \neq 1$。将引理 1 应用于$G = K^*$，我们有

这给出了引理 2。

现在让我们证明定理 1。令$\mathbf{x} = (x_1, \ldots, x_n)$为$K^n$的元素。如果$f_i(\mathbf{x}) \neq 0$，我们有$1 - f_i(\mathbf{x})^{q-1} = 0$；如果$f_i(\mathbf{x}) = 0$，我们有$1 - f_i(\mathbf{x})^{q-1} = 1$。 集合$P = \prod_{i=1}^r (1 - f_i^{q-1})$。我们有

让我们将多项式$P$展开为$\sum_{\alpha \in \mathbf{N}^n} c_\alpha X^\alpha$；到假设，它有次数$< (q-1)n$。令$\alpha$为$\mathbf{N}^n$的元素，使得$c_\alpha$为非零的。由于我们有$\alpha_1 + \cdots + \alpha_n < (q-1)n$，因此存在整数$\ell$，使得$1 \leq \ell \leq n$和$0 \leq \alpha_\ell < q-1$。到引理 2，我们就有 $\sum_{x \in K} x^{\alpha_\ell} = 0$，因而 因此我们有 现在，通过公式 (1)，我们有 $\sum_{\mathbf{x} \in K^n} P(\mathbf{x}) = \operatorname{Card}(\mathbf{Z}) \cdot 1$，因此有 $\operatorname{Card}(\mathbf{Z}) \cdot 1 = 0$，这意味着 $\operatorname{Card}(\mathbf{Z})$ 可以被 $p$整除。

令$(e_1, \ldots, e_n)$为$V$除$K$的基。通过齐次多项式映射的定义 (IV, §5, No. 9, p. 55, 定义 3)，对于每一个 $i \in I$，在次数 $d_i$ 的 $K[X_1, \ldots, X_n]$ 中存在一个齐次多项式 $f_i$，使得我们有$F_i(\xi_1 e_1, \ldots, \xi_n e_n) = f_i(\xi_1, \ldots, \xi_n)$。令$Z$为集合/元素$x$/$V$，使得每个$i \in I$都有$F_i(x) = 0$。通过定理 1，$Z$的基数可以被$p$整除，并且从$0$属于到$S$，我们有$\operatorname{Card}(Z) \geq p > 1$。

令 D 为有限域，令 K 为其中心。 K-代数 D 是次数 $m^2$ 的中心简单，其中$m$ 是严格的正整数。 约化范数是次数 $m$ (VIII, p. 345, 命题 6) 的齐次多项式映射 Nrd$: D\rightarrow K$，并且对于 D 中的每个$a\not= 0$，我们有 Nrd($a$)$\not= 0$ （VIII、p. 340、命题 3）。上面的推论意味着$m\geqslant m^2$，因而$m= 1$。所以我们有 D = K。

这是从定理 2 和结构定理得出简单的环（VIII、p. 120、定理 1）。

这是从定理 2 和结构定理到中央单代数（VIII、p. 252、定理 1）。