习题 17, § 16

假设域 K 对于离散估值 $v$ 是完整的，假设已标准化 (cf. 习题 12 of VIII, p. 272)；用 A 表示 $v$ 的环，用 $\kappa$ 表示其剩余类域。 同态 $r_{\kappa /A}:$ Br(A) $\rightarrow$ Br($\kappa$ ) 是双射 (习题 14)；用 $\iota :$ Br($\kappa$ )$\rightarrow$ Br(K) 同态 $r_{A/K}\circ r_{\kappa /A}^{-1}$ 表示。

a) 令L为有限次数的K的未分支伽罗瓦扩张，伽罗瓦群G。令B为$v_L$延伸$v$的评估环，$\kappa_L$为其剩余类域。 同态$\iota$诱导同态$\iota_L:$Br($\kappa_L/\kappa$)$\rightarrow$Br(L$/K$)。 构造分裂正合序列

$0\rightarrow$ Br($\kappa_L/\kappa$)$\longrightarrow^{\iota_L}$ Br(L$/K$)$\rightarrow H^2(G,\mathbf{Z})\rightarrow 0$,

其中$\mathbf{Z}$被赋予G的平凡作用（观察$\mathbf{Z}$[G]-模块$0\rightarrow B^*\rightarrow L^*\longrightarrow^{v_L}\mathbf{Z}$分裂的的正合序列，并使用习题14）。 b) 设 G 为群。使用正合序列 $0\rightarrow \mathbf{Z}\rightarrow \mathbf{Q}\rightarrow \mathbf{Q}/\mathbf{Z}\rightarrow 0$，证明习题 1 诱导同构从 Hom(G$,\mathbf{Q}/\mathbf{Z}$) 到 $H^2(G,\mathbf{Z})$ 的链接同态。

c) 结论我们有分裂正合序列

$0\rightarrow$ Br($\kappa$)$\rightarrow^{\iota}$ Br(K) $\rightarrow \Xi (\mathfrak{g},\mathbf{Q}/\mathbf{Z})\rightarrow 0$,

其中$\mathfrak{g}$是$\kappa$上的$\kappa$的可分闭包的伽罗瓦群，$\Xi (\mathfrak{g})$是从$\mathfrak{g}$到$\mathbf{Q}/\mathbf{Z}$的连续同态的群，赋予离散的拓扑 （传递到VIII、p. 272的直极限利用习题 12，并且$\kappa$的每个有限伽罗瓦扩张都是K的未分支有限伽罗瓦扩张的剩余类域扩张，直到同构都是唯一的）。

d) 如果 $\kappa$ 是代数闭的，则推导出 Br(K) $=\{0\}$。

e) 假设域$\kappa$是有限的，在其他字中，K是$p$-进数域或形式幂级数在有限域上的有限扩张或域。 构造同构从 Br(K) 到 $\mathbf{Q}/\mathbf{Z}.*$