Exercice 17, § 16

On suppose que le corps K est complet pour une valuation discrète $v$, supposée normée

(cf. exerc. 12 de VIII, p. 268) ; on note A l’anneau de $v$ et $\kappa$ son corps résiduel. L’homomorphisme $r_{\kappa /A}:$ Br(A) $\rightarrow$ Br($\kappa$ ) est bijectif (exerc. 14) ; on note $\iota :$ Br($\kappa$ )$\rightarrow$ Br(K) l’homomorphisme $r_{A/K}\circ r^{-1}_{\kappa /A}$.

a) Soient L une extension non ramifiée de K, galoisienne de degré fini, de groupe de Galois G. Soient B l’anneau de la valuation $v_L$ qui prolonge $v$, et $\kappa_L$ son corps résiduel. L’homomorphisme $\iota$ induit un homomorphisme $\iota_L:$ Br($\kappa_L/\kappa$ )$\rightarrow$ Br(L$/K$). Construire une suite exacte scindée

$0\rightarrow$ Br($\kappa_L/\kappa$ )$\rightarrow^{\iota_L}$ Br(L$/K$)$\rightarrow H^2(G,\mathbf{Z})\rightarrow 0$,

où $\mathbf{Z}$est muni de l’action triviale de G (observer que la suite exacte de $\mathbf{Z}$[G]-modules $0\rightarrow B^*\rightarrow L^*\rightarrow^{v_L}\mathbf{Z}$est scindée, et utiliser l’exerc. 14).

b) En utilisant la suite exacte $0\rightarrow \mathbf{Z}\rightarrow \mathbf{Q}\rightarrow \mathbf{Q}/\mathbf{Z}\rightarrow 0$, définir un isomorphisme canonique de $H^2(G,\mathbf{Z})$ sur le groupe Ξ(G) = Hom(G$,\mathbf{Q}/\mathbf{Z}$).

c) Conclure qu’on a une suite exacte scindée

$0\rightarrow$ Br($\kappa$ )$\rightarrow^{\iota}$ Br(K) $\longrightarrow \Xi (\mathfrak{g})\rightarrow 0$,

où $\mathfrak{g}$ est le groupe de Galois d’une clôture séparable de $\kappa$ sur $\kappa$ et $\Xi (\mathfrak{g})$ le groupe des homomorphismes continus de $\mathfrak{g}$ dans $\mathbf{Q}/\mathbf{Z}$, muni de la topologie discrète (passer à la limite inductive en utilisant l’exerc. 12 de VIII, p. 268 et le fait que toute extension galoisienne finie de $\kappa$ est l’extension résiduelle d’une extension galoisienne finie non ramifiée de K, unique à isomorphisme près).

d) En déduire que Br(K) $=\{0\}$ si $\kappa$ est algébriquement clos.

e) On suppose que le corps $\kappa$ est fini, autrement dit que K est une extension finie d’un corps $p$-adique ou un corps de séries formelles sur un corps fini. Construire un isomorphisme de Br(K) sur $\mathbf{Q}/\mathbf{Z}.*$