Bài tập 17, § 16

Giả sử trường K đầy đủ đối với một định giá rời rạc $v$, được chuẩn hóa (xem Bài tập 12 của VIII, p. 272); gọi vành của $v$ là A và trường thặng dư của nó là $\kappa$. Đồng cấu $r_{\kappa /A}:$ Br(A) $\rightarrow$ Br($\kappa$ ) là song ánh (Bài tập 14); ký hiệu bởi $\iota :$ Br($\kappa$ )$\rightarrow$ Br(K) đồng cấu $r_{A/K}\circ r_{\kappa /A}^{-1}$.

a) Cho L là một mở rộng Galois không phân nhánh của K có bậc hữu hạn, với nhóm Galois G. Cho B là vành định giá của $v_L$ kéo dài $v$ và $\kappa_L$ là trường thặng dư của nó. Đồng cấu $\iota$ cảm sinh một đồng cấu $\iota_L:$ Br($\kappa_L/\kappa$ )$\rightarrow$ Br(L$/K$). Xây dựng một dãy khớp tách

$0\rightarrow$ Br($\kappa_L/\kappa$ )$\longrightarrow^{\iota_L}$ Br(L$/K$)$\rightarrow H^2(G,\mathbf{Z})\rightarrow 0$,

trong đó $\mathbf{Z}$ được trang bị tác động tầm thường của G (lưu ý rằng dãy khớp của các môđun $\mathbf{Z}$[G] $0\rightarrow B^*\rightarrow L^*\longrightarrow^{v_L}\mathbf{Z}$ tách, và dùng Bài tập 14). b) Cho G là một nhóm. Dùng dãy khớp $0\rightarrow \mathbf{Z}\rightarrow \mathbf{Q}\rightarrow \mathbf{Q}/\mathbf{Z}\rightarrow 0$, hãy chứng minh rằng đồng cấu liên kết của Bài tập 1 cảm sinh một đẳng cấu từ Hom(G$,\mathbf{Q}/\mathbf{Z}$) đến $H^2(G,\mathbf{Z})$.

c) Suy ra rằng ta có một dãy khớp tách

$0\rightarrow$ Br($\kappa$ )$\rightarrow^{\iota}$ Br(K) $\rightarrow \Xi (\mathfrak{g},\mathbf{Q}/\mathbf{Z})\rightarrow 0$,

trong đó $\mathfrak{g}$ là nhóm Galois của một bao đóng tách được của $\kappa$ trên $\kappa$ và $\Xi (\mathfrak{g})$ là nhóm các đồng cấu liên tục từ $\mathfrak{g}$ đến $\mathbf{Q}/\mathbf{Z}$, được trang bị tôpô rời rạc (đi tới giới hạn trực tiếp bằng cách sử dụng bài tập 12 của VIII, p. 272 và thực tế là mọi mở rộng Galois hữu hạn của $\kappa$ là mở rộng trường thặng dư của một mở rộng Galois hữu hạn không phân nhánh của K, duy nhất tới đẳng cấu).

d) Suy ra rằng Br(K) $=\{0\}$ nếu $\kappa$ là đóng đại số.

e) Giả sử rằng trường $\kappa$ là hữu hạn, nói cách khác, rằng K là một mở rộng hữu hạn của một trường $p$-adic hoặc một trường chuỗi lũy thừa hình thức trên một trường hữu hạn. Xây dựng một đẳng cấu từ Br(K) đến $\mathbf{Q}/\mathbf{Z}.*$