习题 7, § 18

a) Prove that if the field K has property $(C_1)$ (VIII, p. 357), then so does every algebraic extension of K. (Reduce to the case of an extension L of K of finite degree $r$. 证明如果 F 是L向量空间V上次数$d$的齐次多项式函数，则函数$N_{L/K}\circ F$是K-向量空间V上次数$rd$的齐次多项式。）

$*$b) 从现在开始假设 K 是代数封闭的。令 $F_1, . . . ,F_n$ 为 $m$ 变量中次数 $>0$ 的齐次多项式。证明如果$n < m$，则$K^n$中存在$\mathbf{a}\not= 0$使得$F_1(\mathbf{a}) =\cdots = F_n(\mathbf{a}) = 0$（使用AC，VIII, §2，n$^o4$，p. 19，推论1du定理3和AC，VIII, §3， n$^o1$、p. 24、命题 2)。

c) 从b) 推导出域 K(X) 有性质 $(C_1)$。

（令$f$为$n$变量中次数$d$的齐次多项式，其系数为X中的多项式，并令$\nu$为这些系数中次数的最大值。 设N为整数，$G_1, . . . ,G_n$为次数$\leqslant N$的X多项式。 证明等式$F(G_1(X), . . . ,G_n(X)) = 0$等价于次数$>0$的$Nd+\nu + 1$齐次多项式在$G_i.$的$n(N + 1)$系数中的湮灭）

d) 由a)和c)推出超越次数$\leqslant 1$的代数闭域的扩张有性质$(C_1)$（“Tsen的定理”）。$*$