Exercice 7, § 18

a) Si le corps K possède la propriété $(C_1)$ (VIII, p. 349), démontrer qu’il en est de même de toute extension algébrique de K (se ramener au cas d’une extension L de K de degré fini $r$; si F est une fonction polynomiale homogène de degré $d$ sur un L-espace vectoriel V, démontrer que la fonction $N_{L/K}\circ F$ est polynomiale homogène de degré $rd$ sur le K-espace vectoriel V).

$*$b) On suppose désormais K algébriquement clos. Soient $F_1, . . . ,F_n$ des polynômes homogènes de degré $>0$ en $m$ indéterminées. Si $n < m$, démontrer qu’il existe $\mathbf{a}\not= 0$ dans $K^n$ tel que $F_1(\mathbf{a}) =\cdots = F_n(\mathbf{a}) = 0$ (utiliser AC, VIII, p. 19, cor. 1 du th. 3 et p. 24, prop. 2).

c) Déduire de b) que le corps K(X) possède la propriété $(C_1)$.

(Soit F un polynôme homogène de degré $d$ en $n$ variables, dont les coefficients sont des polynômes en X et soit $\nu$ le maximum des degrés de ces coefficients. Soient N un entier et $G_1, . . . ,G_n$ des polynômes en X de degré $\leqslant N$; démontrer que l’égalité $F(G_1[X], . . . ,G_n[X]) = 0$ équivaut à l’annulation de $Nd+\nu + 1$ polynômes homogènes de degré $>0$ en les $n(N + 1)$ coefficients des $G_i.$)

d) Déduire de a) et c) qu’une extension de degré de transcendance $\leqslant 1$ d’un corps algébriquement clos possède la propriété $(C_1)$ (« théorème de Tsen »).$*$