Bài tập 7, § 18

a) Chứng minh rằng nếu trường K có tính chất $(C_1)$ (VIII, p. 357), thì mọi mở rộng đại số của K cũng có tính chất đó. (Quy về trường hợp một mở rộng L của K có bậc hữu hạn $r$. Chứng minh rằng nếu F là một hàm đa thức thuần nhất bậc $d$ trên một không gian vectơ V trên L, thì hàm $N_{L/K}\circ F$ là một hàm đa thức thuần nhất bậc $rd$ trên không gian vectơ V trên K.)

$*$b) Từ đây giả sử K đóng đại số. Cho $F_1, . . . ,F_n$ là các đa thức thuần nhất bậc $>0$ theo $m$ biến. Chứng minh rằng nếu $n < m$, thì tồn tại một $\mathbf{a}\not= 0$ trong $K^n$ sao cho $F_1(\mathbf{a}) =\cdots = F_n(\mathbf{a}) = 0$ (dùng AC, VIII, §2, n$^o4$, p. 19, hệ quả 1 của định lý 3 và AC, VIII, §3, n$^o1$, p. 24, mệnh đề 2).

c) Suy ra từ b) rằng trường K(X) có tính chất $(C_1)$.

(Cho $f$ là một đa thức thuần nhất bậc $d$ trong $n$ biến, có các hệ số là đa thức theo X, và cho $\nu$ là bậc lớn nhất của các hệ số này. Cho N là một số nguyên, và cho $G_1, . . . ,G_n$ là các đa thức theo X có bậc $\leqslant N$. Chứng minh rằng đẳng thức $F(G_1(X), . . . ,G_n(X)) = 0$ tương đương với sự triệt tiêu của $Nd+\nu + 1$ đa thức thuần nhất có bậc $>0$ theo $n(N + 1)$ hệ số của các $G_i.$)

d) Suy ra từ a) và c) rằng một mở rộng của một trường đóng đại số có bậc siêu việt $\leqslant 1$ có tính chất $(C_1)$ (“định lý của Tsen”).$*$