习题 8, § 5

设$\overline{k}$为$k$和$\overline{\mathfrak{g}}= \overline{k}\otimes_k\mathfrak{g}$的代数闭包。 伽罗瓦群 Gal($\overline{k}/k$) 自然地在 $\overline{\mathfrak{g}}$、$\overline{\mathfrak{g}}$ (no. 3、注 2) 的规范嘉当子代数、以及它的根系 $\overline{R}$ 和典范基上运行$\overline{B}$。因此，我们获得连续的同态（即开放的核）

$\pi :$加尔($\overline{k}/k$)$\rightarrow$奥特($\overline{R},\overline{B}$)。

证明$\mathfrak{g}$是可分割的当且仅当满足以下两个条件：

(i) 同态 $\pi$ 是微不足道的。

(ii) $\mathfrak{g}$ 有博雷尔子代数 $\mathfrak{b}$。

（证明$\mathfrak{b}$中包含的嘉当子代数$\mathfrak{h}$是分裂当且仅当$\pi$是平凡的。）