Bài tập 8, § 5

Cho $\overline{k}$ là một bao đóng đại số của $k$, và $\overline{\mathfrak{g}}= \overline{k}\otimes_k\mathfrak{g}$. Nhóm Galois Gal($\overline{k}/k$) tác động tự nhiên lên $\overline{\mathfrak{g}}$, lên đại số con Cartan chính tắc của $\overline{\mathfrak{g}}$ (no. 3, Nhận xét 2), cũng như lên hệ nghiệm $\overline{R}$ và cơ sở chính tắc $\overline{B}$ của nó. Do đó ta thu được một đồng cấu liên tục (nghĩa là có hạt nhân mở)

$\pi :$ Gal($\overline{k}/k$)$\rightarrow$ Aut( $\overline{R},\overline{B}$).

Chứng minh rằng $\mathfrak{g}$ là tách khi và chỉ khi hai điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) Đồng cấu $\pi$ là tầm thường.

(ii) $\mathfrak{g}$ có một đại số con Borel $\mathfrak{b}$.

(Chứng minh rằng một đại số con Cartan $\mathfrak{h}$ được chứa trong $\mathfrak{b}$ là tách khi và chỉ khi $\pi$ là tầm thường.)