习题 5, § 5

a) 令 $a\in$ Aut($\mathfrak{g}$) 和 $\mathfrak{n}$ $a-1$ 的零空间。证明以下条件是等价的：

(i) Ker($a-1$) 是 $\mathfrak{g}$ 的嘉当子代数。

(ii) $\mathfrak{n}$是$\mathfrak{g}$的嘉当子代数，以及$a\in$Aut$_0(\mathfrak{g})$。

(iii) 昏暗$\mathfrak{n}=$ rk($\mathfrak{g}$) 和$a\in$ Aut$_0(\mathfrak{g})$。

b) 假设从现在开始$k$是代数封闭的。设V为向量空间，$V, T_Q$群Hom(Q(R)$, k^*$)$,n$整数$\geq 1$和$T_n$子群中的R根系 $T_Q$ 由……组成元素阶除 $n$。令$\zeta$为$k$中单位元的原语第$n$第根。对于所有$H\in P(R^{\vee})$，令$\psi (H)$为元素$\gamma \rightarrow \zeta^{\gamma(H)}$ / $T_Q$。从$P(R^{\vee})$到$T_n$，映射$\psi$是同态，还有核$nP(R^{\vee})$。设$t\in T_n$，并设C为$P(R^{\vee})\otimes \mathbf{R}$中的壁龛。存在$w\in W(R)$和$H\in P(R^{\vee})$使得$\frac{1}{n}H\in C$和$\psi (wH) =t$。 （使用第VI, §2, no. 1章。）

c) 设$\mathfrak{h}$为$\mathfrak{g}$的嘉当子代数，且R根系为$(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$。令 $n, \zeta , \psi$ 如 b) 中，$f$ 如no. 2。让$H\in P(R^{\vee})$。 $\mathfrak{g}$在$f(\psi (H))$下不变的元素集合是$\mathfrak{h}\oplus \sum_{\alpha\in R'}\mathfrak{g}^{\alpha}$，其中$R'$是$\alpha \in R$的集合使得$\alpha (H)\in n\mathbf{Z}$，并且$f(\psi (H))$满足a) 的条件当且仅当 $\frac{1}{n}H$ 属于到壁龛。

d) 从现在开始假设$\mathfrak{g}$是简单的。令$\mathfrak{h}$和R如$R,h$的$c), (\alpha_1, . . . , \alpha_l)$基、$R,\zeta$的Coxeter数、$k$中单位元的原语$h$第根，以及$H$ $\mathfrak{h}$的元素使得$\alpha_i(H) = 1$对应$i= 1, . . . , l$。证明以下性质：

(i) The homomorphism $\gamma \rightarrow \zeta^{\gamma(H)}$ from Q(R) to $k^*$ defines an element of Aut($\mathfrak{g},\mathfrak{h}$) which satisfies the conditions in a), and has order $h$. (Use $c$), Chap. VI, §2, Prop. 5 and Chap. VI, §1, Prop. 31.)

(ii) 有限阶的$\mathfrak{g}$中的每个自同构都满足a)中的条件，且为阶$\geq h$。

(iii) The automorphisms of $\mathfrak{g}$ of order $h$ satisfying the conditions of a) form a conjugacy class in Aut$_e(\mathfrak{g})$. (Use Prop. 5 of no. 3.)

e) 令 $\mathfrak{h}$ 和 R 如 c) 中所示，并令 $w$ 为 W(R) 中的 Coxeter 变换。设 $s\in$ Aut($\mathfrak{g},\mathfrak{h}$) 使得$\varepsilon (s) =w$。证明$s$满足a)中的条件，且为阶$h$。 （使用第 VI, §1 章，第 33 条提案，第 V, §6, no. 2 章和第 VII, §4 章，第 9 条提案。）

f) 如果$s\in$ Aut($\mathfrak{g}$)，则以下条件等价：

(i) $s$满足a)中的条件，且为阶$h$；

(ii) $\mathfrak{g}$ 的嘉当子代数 $\mathfrak{h}$ 在$s$ 下稳定，使得$s|\mathfrak{h}$ 是$(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$ 的Weyl 群中的Coxeter 变换。 （使用$d$）和$e).)$

g) d) (i)中自同构的特征多项式为

e) 中的自同构 $s$ 为

$B(T) = (T^h-1)^l\prod_{i=1}^l(T-\zeta^{m_i})(m_i$ 是 R 的指数）。

（使用VI, §1, no. 11章第33（iv）条命题。）从关系 A(T) = B(T) 推导出，对于$i$的所有$j\geq 1$、数，使得$m_i\geq j$等于$\alpha \in R_+$的数，使得$\alpha (H) =j$；从而恢复 Exerc 的结果。第 6 章 c) VI，§$4.^{12}$