Bài tập 5, § 5

a) Cho $a\in$ Aut($\mathfrak{g}$), và $\mathfrak{n}$ là không gian lũy linh của $a-1$. Hãy chỉ ra rằng các điều kiện sau là tương đương:

(i) Ker($a-1$) là một đại số con Cartan của $\mathfrak{g}$.

(ii) $\mathfrak{n}$ là một đại số con Cartan của $\mathfrak{g}$, và $a\in$ Aut$_0(\mathfrak{g})$.

(iii) dim $\mathfrak{n}=$ rk($\mathfrak{g}$) và $a\in$ Aut$_0(\mathfrak{g})$.

b) Từ bây giờ giả sử rằng $k$ đóng đại số. Cho V là một không gian vectơ, R một hệ nghiệm trong $V, T_Q$ nhóm Hom(Q(R)$, k^*$)$,n$ một số nguyên $\geq 1$ và $T_n$ nhóm con của $T_Q$ gồm các phần tử có cấp chia hết cho $n$. Cho $\zeta$ là một nghiệm nguyên thủy bậc $n$ của đơn vị trong $k$. Với mọi $H\in P(R^{\vee})$, gọi $\psi (H)$ là phần tử $\gamma \rightarrow \zeta^{\gamma(H)}$ của $T_Q$. Ánh xạ $\psi$ là một đồng cấu từ $P(R^{\vee})$ vào $T_n$, với hạt nhân là $nP(R^{\vee})$. Cho $t\in T_n$, và cho C là một alcove trong $P(R^{\vee})\otimes \mathbf{R}$. Tồn tại $w\in W(R)$ và $H\in P(R^{\vee})$ sao cho $\frac{1}{n}H\in C$ và $\psi (wH) =t$. (Dùng Chương VI, §2, no. 1.)

c) Cho $\mathfrak{h}$ là một đại số con Cartan của $\mathfrak{g}$, và R là hệ nghiệm của $(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$. Cho $n, \zeta , \psi$ như trong b), và $f$ như trong no. 2. Cho $H\in P(R^{\vee})$. Tập hợp các phần tử của $\mathfrak{g}$ bất biến dưới $f(\psi (H))$ là $\mathfrak{h}\oplus \sum_{\alpha\in R'}\mathfrak{g}^{\alpha}$, trong đó $R'$ là tập hợp các $\alpha \in R$ sao cho $\alpha (H)\in n\mathbf{Z}$, và $f(\psi (H))$ thỏa mãn các điều kiện của a) khi và chỉ khi $\frac{1}{n}H$ thuộc về một alcove.

d) Từ bây giờ giả sử rằng $\mathfrak{g}$ là đơn. Gọi $\mathfrak{h}$ và R như trong $c), (\alpha_1, . . . , \alpha_l)$ là một cơ sở của $R,h$ là số Coxeter của $R,\zeta$ là một căn nguyên thủy bậc $h$ của đơn vị trong $k$, và $H$ là phần tử của $\mathfrak{h}$ sao cho $\alpha_i(H) = 1$ với $i= 1, . . . , l$. Chứng minh các tính chất sau:

(i) Đồng cấu $\gamma \rightarrow \zeta^{\gamma(H)}$ từ Q(R) vào $k^*$ xác định một phần tử của Aut($\mathfrak{g},\mathfrak{h}$) thỏa mãn các điều kiện ở a), và có cấp $h$. (Dùng $c$), Chương VI, §2, Mệnh đề 5 và Chương VI, §1, Mệnh đề 31.)

(ii) Mọi tự đẳng cấu của $\mathfrak{g}$ có cấp hữu hạn đều thỏa mãn các điều kiện ở a) và có cấp $\geq h$.

(iii) Các tự đẳng cấu của $\mathfrak{g}$ có cấp $h$ thỏa mãn các điều kiện của a) tạo thành một lớp liên hợp trong Aut$_e(\mathfrak{g})$. (Dùng Mệnh đề 5 của no. 3.)

e) Gọi $\mathfrak{h}$ và R như trong c), và gọi $w$ là một phép biến đổi Coxeter trong W(R). Gọi $s\in$ Aut($\mathfrak{g},\mathfrak{h}$) sao cho $\varepsilon (s) =w$. Hãy chỉ ra rằng $s$ thỏa mãn các điều kiện ở a), và có cấp $h$. (Dùng Chương VI, §1, Mệnh đề 33, Chương V, §6, no. 2 và Chương VII, §4, Mệnh đề 9.)

f) Nếu $s\in$ Aut($\mathfrak{g}$), thì các điều kiện sau là tương đương:

(i) $s$ thỏa mãn các điều kiện ở a), và có cấp $h$;

(ii) tồn tại một đại số con Cartan $\mathfrak{h}$ của $\mathfrak{g}$ ổn định dưới $s$ sao cho $s|\mathfrak{h}$ là một phép biến đổi Coxeter trong nhóm Weyl của $(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$. (Dùng $d$) và $e).)$

g) Đa thức đặc trưng của tự đẳng cấu trong d) (i) là

Đa thức đặc trưng của tự đẳng cấu $s$ trong e) là

$B(T) = (T^h-1)^l\prod_{i=1}^l(T-\zeta^{m_i})(m_i$ là các số mũ của R).

(Dùng Mệnh đề 33 (iv) của Chương VI, §1, no. 11.) Suy ra từ quan hệ A(T) = B(T) rằng, với mọi $j\geq 1$, số các $i$ sao cho $m_i\geq j$ bằng số các $\alpha \in R_+$ sao cho $\alpha (H) =j$; từ đó thu lại kết quả của Bài tập 6 c) của Chương VI, §$4.^{12}$