习题 12, § 8

a) 设 $\lambda , \mu\in \mathfrak{h}^*$。从$Z(\mu)$到$Z(\lambda )$的每个非零$\mathfrak{g}$同态都是单射的。 （使用no. 6的第6条命题。） b) 设$\mathbf{N}^r,m=$卡(A)的$r\in \mathbf{N}, A$有限子集。对于所有$\xi \in \mathbf{N}^r$，令$s(\xi )$为$\xi$坐标的和，以及整数$\geq 0$的家庭$(n_{\alpha})_{\alpha\in A}$的$\mathfrak{P}_A(\xi )$数，使得$\xi =\sum_{\alpha\in A}n_{\alpha}\alpha$。然后 $\mathfrak{P}_A(\xi )\leq (s(\xi ) + 1)^m$ 代表所有 $\xi \in \mathbf{N}^r$。 （$m.$由归纳争论）

c) 设 $\lambda , \mu\in \mathfrak{h}^*$。 显示那个昏暗的坎$_{\mathfrak{g}}(Z(\mu),Z(\lambda ))\leq 1$。 （令$\varphi_1$和$\varphi_2$是从$Z(\mu)$到$Z(\lambda )$的非零$\mathfrak{g}$同态。 如果 Im($\varphi_1$) $=$ Im($\varphi_2$)$,\varphi_1$ 和 $\varphi_2$ 与 §6 的命题 1 (iii) 线性相关。 假设 Im($\varphi_1$)$\not=$ Im($\varphi_2$)。 如果 $Z(\mu)$ 是简单的，和 Im($\varphi_1$) $+$ Im($\varphi_2$) 是直接的；对所有$\xi \in \mathfrak{h}^*$推出$\mathfrak{P}(\xi +\lambda -\mu)\geq 2\mathfrak{P}(\xi )$，与$b$矛盾）。 一般情况下，使用Exerc。 11.)

当暗坎$_{\mathfrak{g}}(Z(\mu),Z(\lambda )) = 1$时，滥用记号写$Z(\mu)\subset Z(\lambda )$。 d) 设 $\nu \in \mathfrak{h}^*$。 $\lambda \in \mathfrak{h}^*$的集合，使得$Z(\lambda -\nu )\subset Z(\lambda )$在Zariski 拓扑中的$\mathfrak{h}^*$闭合。