Bài tập 12, § 8

a) Cho $\lambda , \mu\in \mathfrak{h}^*$. Mọi $\mathfrak{g}$-đồng cấu khác không từ $Z(\mu)$ đến $Z(\lambda )$ đều đơn ánh. (Dùng Mệnh đề 6 của no. 6.) b) Cho $r\in \mathbf{N}, A$ là một tập con hữu hạn của $\mathbf{N}^r,m=$ Card(A). Với mọi $\xi \in \mathbf{N}^r$, đặt $s(\xi )$ là tổng các tọa độ của $\xi$, và $\mathfrak{P}_A(\xi )$ là số các họ $(n_{\alpha})_{\alpha\in A}$ các số nguyên $\geq 0$ sao cho $\xi =\sum_{\alpha\in A}n_{\alpha}\alpha$. Khi đó $\mathfrak{P}_A(\xi )\leq (s(\xi ) + 1)^m$ với mọi $\xi \in \mathbf{N}^r$. (Lập luận bằng quy nạp theo $m.$)

c) Cho $\lambda , \mu\in \mathfrak{h}^*$. Chứng minh rằng dim Hom$_{\mathfrak{g}}(Z(\mu),Z(\lambda ))\leq 1$. (Cho $\varphi_1$ và $\varphi_2$ là các $\mathfrak{g}$-đồng cấu khác không từ $Z(\mu)$ đến $Z(\lambda )$. Nếu Im($\varphi_1$) $=$ Im($\varphi_2$)$,\varphi_1$ và $\varphi_2$ phụ thuộc tuyến tính theo Mệnh đề 1 (iii) của §6. Giả sử rằng Im($\varphi_1$)$\not=$ Im($\varphi_2$). Nếu $Z(\mu)$ là đơn, tổng Im($\varphi_1$) $+$ Im($\varphi_2$) là trực tiếp; suy ra rằng $\mathfrak{P}(\xi +\lambda -\mu)\geq 2\mathfrak{P}(\xi )$ với mọi $\xi \in \mathfrak{h}^*$, mâu thuẫn với $b$). Trong trường hợp tổng quát, dùng Bài tập 11.)

Khi dim Hom$_{\mathfrak{g}}(Z(\mu),Z(\lambda )) = 1$, viết $Z(\mu)\subset Z(\lambda )$ bằng sự lạm dụng ký hiệu. d) Cho $\nu \in \mathfrak{h}^*$. Tập hợp các $\lambda \in \mathfrak{h}^*$ sao cho $Z(\lambda -\nu )\subset Z(\lambda )$ là đóng trong $\mathfrak{h}^*$ đối với tôpô Zariski.