Bourbaki

习题 6, § 9

标签 016A，永久不变。引用为 [Bourbaki, Tag 016A]。

李群与李代数, VIII, 256

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

令 x→x∗x \rightarrow x^* 为 k[P]k[P] 的对合，对于所有 p∈Pp\in P，将 epe^p 变为 e−pe^{-p}。 a) 输入D=d∗d=∏α∈R(1−eα)D =d^*d=\prod_{\alpha\in R}(1-e^{\alpha})。证明d∗=(−1)Ndd^*= (-1)^Nd，其中N = Card(R+_+)，因此证明D=(−1)Nd2D = (-1)^Nd^2。

b) 定义两个线性形式 ε\varepsilon 和 I 在 k[P]k[P] 上乘公式：

ε(1)=1,ε(ep)=0\varepsilon (1) = 1,\varepsilon (e^p) = 0 如果 p∈Pp\in P -- {0}\{0\}

和

I(f)=1mε(D.f)I(f) =\frac{1}{m}\varepsilon (D.f)，其中m=m=卡(W)。

通过使用公式 d=J(eρ)d= J(e^{\rho})，证明 I(1) = 1。

c) 让 λ∈P++\lambda \in P_{++} 和 cλ=c_{\lambda}= ch E(λ)=J(eλ+ρ)/dE(\lambda ) = J(e^{\lambda+\rho})/d。如果λ≠0\lambda \not= 0则证明I(cλ)=0I(c_{\lambda}) = 0。 （方法与bb相同）.).)

d) 表明 I 在子代数 Z[P]W=\mathbf{Z}[P]^W= ch R(g)R(\mathfrak{g}) 上取整数值，k[P]k[P]。如果E是g\mathfrak{g}模，则E中g\mathfrak{g}不变量的空间的维数等于I(ch E)。 （约化对于E很简单并使用bb的情况）和c).)c).) e）我们有暗淡的E=∑λ∈P++I(cλ∗E =\sum_{\lambda\in P_{++}}I(c^*_{\lambda}chE)d(λ)E)d(\lambda )，其中d(λ)=d(\lambda ) =暗淡E(λ)E(\lambda )。特别是：

I(cλ∗cμ)=δλμI(c^*_{\lambda}c_\mu) =\delta_{\lambda \mu} 如果λ,μ∈P++\lambda , \mu\in P_{++}。

f) 若λ,μ,ν∈P++\lambda , \mu, \nu \in P_{++}，则命题2的整数m(λ,μ,ν)m(\lambda , \mu, \nu )等于I(cλcμcν∗)I(c_{\lambda}c_\mu c^*_{\nu})。推断身份

d(λ)d(μ)=∑ν∈P++m(λ,μ,ν)d(ν)λ,μ,ν∈P++ d(\lambda )d(\mu) =\sum_{\nu\in P_{++}}m(\lambda , \mu, \nu )d(\nu )\lambda , \mu, \nu \in P_{++}

（应用ee）到g\mathfrak{g}-模块E=E(λ)⊗E(μ).)E = E(\lambda )\otimes E(\mu).)

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。

引用了

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。