习题 11, § 5

设 $p$ 为素数数。如果存在 G 的连通闭合子群 H，其最大值为秩，则 $p$ 被称为 G 的挠元素数数，使得 $\pi_1(H)$ 的 $p$-扭力子群不为零。把$R = R(G,T)$。

a) G 的挠元素数数是R的挠元素数数（练习10）和$\pi_1(G)$的挠元群除阶的素数数。

b) 证明 G 除 $w/l$! 的每个挠元素数数，其中 $w$ 是 W 的阶，$l$ 秩半单群 D(G)（使用第 1 章） VI, §2, no. 4，提案 7）。

c) 设$t\in T$和$n\in \mathbf{N}$使得$t^n\in C(G)$。令$R_1$为$\alpha \in R$的集合，使得$\alpha (t) = 1$，以及$Q(R^{\vee})/Q(R^{\vee}_1)$的挠元群的$m$阶（cf.练习10）。证明 $m$ 除 $n$ 的每个素数因子 （约化对于 G 是简单连通且几乎简单的情况）。 d) 假设 G 是单连通的。令$g\in G,n\in \mathbf{N}$使得$g^n$属于到C(G)并且使得G除$n$没有挠元素数数。证明$g$的扶正器导出群是单连通的。

e) 设 $g$ 为 G 的元素且 $p$ 为素数数，使得 $g^p=e$ 和 $p$ 不是 G 的挠元素数数。证明扶正器 $Z(g)$ 已连接，并且$p$ 不是$Z(g)$ 的挠元素数数。

f) 假设G是单连通的，令$p$为G的挠元素数数。证明阶$p$的G存在元素$g$，使得$\pi_1(Z(g))$是阶的循环$p$（使用第 VI, §4 章的练习 10 和练习 4）。