Bài tập 11, § 5

Cho $p$ là một số nguyên tố. Khi đó người ta nói rằng $p$ là một số nguyên tố xoắn của G nếu tồn tại một nhóm con đóng liên thông H của G, có hạng tối đa, sao cho nhóm con $p$-xoắn của $\pi_1(H)$ khác không. Đặt $R = R(G,T)$.

a) Các số nguyên tố xoắn của G là các số nguyên tố xoắn của R (Bài tập 10) và các số nguyên tố chia hết cấp của nhóm xoắn của $\pi_1(G)$.

b) Chứng minh rằng mọi số nguyên tố xoắn của G đều chia hết $w/l$!, trong đó $w$ là cấp của W và $l$ là hạng của nhóm nửa đơn D(G) (dùng Chương VI, §2, no. 4, Mệnh đề 7).

c) Cho $t\in T$ và $n\in \mathbf{N}$ sao cho $t^n\in C(G)$. Gọi $R_1$ là tập hợp các $\alpha \in R$ sao cho $\alpha (t) = 1$, và $m$ là cấp của nhóm xoắn của $Q(R^{\vee})/Q(R^{\vee}_1)$ (xem Bài tập 10). Chứng minh rằng mọi nhân tử nguyên tố của $m$ đều chia hết $n$ (quy về trường hợp G đơn liên và gần đơn).

d) Giả sử rằng G là đơn liên. Cho $g\in G,n\in \mathbf{N}$ sao cho $g^n$ thuộc C(G) và sao cho không có số nguyên tố xoắn nào của G chia hết $n$. Chứng minh rằng nhóm dẫn xuất của bộ tập trung của $g$ là đơn liên.

e) Cho $g$ là một phần tử của G và $p$ là một số nguyên tố sao cho $g^p=e$ và $p$ không phải là một số nguyên tố xoắn của G. Chứng minh rằng bộ tập trung $Z(g)$ là liên thông và $p$ không phải là một số nguyên tố xoắn của $Z(g)$.

f) Giả sử rằng G là đơn liên, và cho $p$ là một số nguyên tố xoắn của G. Chứng minh rằng tồn tại một phần tử $g$ của G có cấp $p$ sao cho $\pi_1(Z(g))$ là cyclic cấp $p$ (dùng Bài tập 10 và Bài tập 4 của Chương VI, §4).