Exercice 11, § 5

Soit $p$ un nombre premier. On dit que $p$ est un nombre premier de torsion de $G$ s’il existe un sous-groupe fermé connexe $H$ de $G$, de rang maximum, tel que le sous-groupe de $p$-torsion de $\pi_1(H)$ soit non nul. On pose $R = R(G, T)$. a) Les nombres premiers de torsion de $G$ sont les nombres premiers de torsion de $R$ (exerc. 10) et les nombres premiers qui divisent l’ordre du groupe de torsion de $\pi_1(G)$. b) Montrer que tout nombre premier de torsion de $G$ divise $w/l!$, où $w$ est l’ordre de $W$ et $l$ le rang du groupe semi-simple $D(G)$ (utiliser VI, § 2, n° 4, prop. 7). c) Soient $t \in T$ et $n \in \mathbf{N}$ tels que $t^n \in C(G)$. Soient $R_1$ l’ensemble des $\alpha \in R$ telles que $\alpha(t) = 1$, et $m$ l’ordre du groupe de torsion de $Q(R^\vee)/Q(R_1^\vee)$ (cf. exerc. 10). Démontrer que tout facteur premier de $m$ divise $n$ (se ramener au cas où $G$ est simplement connexe et presque simple).

d) Supposons G simplement connexe. Soient $g \in G,\ n \in \mathbf{N}$ tels que $g^n$ appartienne à $C(G)$ et qu’aucun nombre premier de torsion de G ne divise $n$. Démontrer que le groupe dérivé du centralisateur de $g$ est simplement connexe. e) Soient $g$ un élément de G et $p$ un nombre premier, tels que $g^p = e$ et que $p$ ne soit pas un nombre premier de torsion de G. Montrer que le centralisateur $Z(g)$ est connexe et que $p$ n’est pas un nombre premier de torsion de $Z(g)$. f) Supposons G simplement connexe, et soit $p$ un nombre premier de torsion de G. Prouver qu’il existe un élément $g$ de G d’ordre $p$ tel que $\pi_1(Z(g))$ soit cyclique d’ordre $p$ (utiliser l’exerc. 10 et l’exerc. 4 de VI, § 4).