令 e 为 M 的单位元素；那么$ea = a$对于每个元素$a \in A$，因此e属于到A的固定者。令$\alpha$和$\beta$是稳定A的E的元素。然后$(\alpha \beta)A = \alpha(\beta A) \subset \alpha A \subset A$，因此A的稳定子是M的子幺半群。类似地对于严格的稳定子和 A 的固定器，从而 (a)。如果$\alpha A = A$，则$A = \alpha^{-1}(\alpha A) = \alpha^{-1}A$。如果对于所有$a \in A$，$\alpha a = a$，则$a = \alpha^{-1}(\alpha a) = \alpha^{-1}a$，从而 (b)。

第一个断言源自命题，F是S的同态的核进入与A上S的运算相关的$\mathfrak{S}_A$。

群 G 忠实地在集合 E 上运行当且仅当 E 的固定器由 G 的单位元素组成。E 的固定器是 G 的给定同态到 $\mathfrak{S}_E$ 的核；当且仅当它的核由单位元素 (§ 4, no. 5, 定理 3) 组成时，这个同态是单射的。

令 M 为幺半群，E 为 M 集合，E 的 $a$ 元素。固定器，$\{a\}$ 的严格稳定子和稳定子相等；这个幺半群同样被称为 $a$ 的固定者或稳定子。 E 的子集 A 的固定器是 A 的元素的固定器的交。如果 $a$ 的固定器是幺半群 M，则$a$ 称为 E 的不变量元素。如果 E 的每个元素都是不变量，则称 M 对 E 进行平凡操作。

如果$s \in S_x$，则$\alpha s \alpha^{-1}(\alpha x) = \alpha s x = \alpha x$，从而$\alpha S_x \alpha^{-1} \subset S_{\alpha x}$。如$x = \alpha^{-1}(\alpha x)$、$\alpha^{-1} S_{\alpha x} \alpha \subset S_x$、从而$S_{\alpha x} \subset \alpha S_x \alpha^{-1}$。

类似地可以看出，如果A和B是E的两个子集，并且T是A到B的传输器（或严格传输器），则$\alpha A$到$\alpha B$的传输器（或严格传输器）等于$\alpha T \alpha^{-1}$。

如果$x, y$和$z$是G的元素，则$(xyx^{-1})(xz x^{-1}) = xyz x^{-1}$，因此Int(x)是G的自同态。对于G的$x$和$y$元素，

对于所有$z \in G$，$x(yzy^{-1})x^{-1} = (xy)z(xy)^{-1}$。另一方面，$\operatorname{Int}(e)$是G的恒等映射。映射Int因此是从G到群G的自同态的幺半群End(G)的幺半群同态。由于G的元素是可逆的，映射Int取其End(G)(§ 2, no. 3)的可逆元的集合Aut(G)中的值。现在$xyx^{-1} = y$当且仅当$x$和$y$通勤，因此$\operatorname{Int}(x)$是G的恒等映射当且仅当$x$是中心元素。最后，令$\alpha$为G的自同构，并令$x \in G$；然后

对于$y \in G$，

因此$\alpha \cdot \operatorname{Int}(G) \cdot \alpha^{-1} \subset \operatorname{Int}(G)$。

G 的自同构（或内自同构）的限制到 H 是 H 的自同构，因此 K 不变。

令 G 为群，A $\subset$ G 和 $b \in G$。如果 $bAb^{-1} = A$，则 b 被称为标准化 A；如果对于所有 $a \in A$，$bab^{-1} = a$，则称 b 集中 A。设A和B是G的子集；如果 B 的每个元素都归一化（或集中）A，则称 B 归一化（或集中）A。

$g \in G$的集合对A进行归一化（或中心化），称为A的归一化器（或中心化器）（cf.§ 1, no. 5，定义9）；它通常用 $N_G(A)$ 或简称 $N(A)$（分别为 $C_G(A)$ 或 $C(A)$）表示。它是G的子群。当A是G的子群时，$N_G(A)$可以表征为G的最大的子群，其中包含A且其中A是正规的。

元素$e = H$中$G/H$中的轨道为$G/H$、从而第一个断言。我们现在证明第二个。若$n \in N$定义右译恒等映射于$G/H$，则$e.n = e$，即$H.n = H$、从而$n \in H$。所以

N/H 忠实地在右侧的 G/H 上运行，且 $\phi$ 是单射的。 G 的左运算和 N/H 的右运算在 G/H 上交换，因此 G/H 的 N/H 定义 G 态射算子自身，它们必然是 G 自同构，因为它们是双射的。因此$\phi$在G/H的G自同构的群$\Phi$中取其值。我们证明$\phi$的像是$\Phi$。让$f \in \Phi$。通过传输结构，G 中$f(\dot{e})$ 的稳定子等于$\dot{e}$ 的稳定子，因此等于H。令$n \in G$ 使得$f(\dot{e}) = n\dot{e}$。 G中$n\dot{e}$的稳定子是$nHn^{-1}$（no. 2，命题2），从而$nHn^{-1} = H$和$n \in N$。对于 G/H 的每个元素 $xH$，$f(xH) = f(x.\dot{e}) = x.f(\dot{e}) = xnH = xHn$ 和 $f$ 重合，其中映射由 $n$ 定​​义。

如果f是解，则$f(x.K) = x.a$对于G中的所有x，从而唯一性；我们展示存在。由a定义的轨道映射与G上的等价关系$y \in xK$相容的。对于，如果$y = xk, k \in K$，则

因此，映射 f 由 G/K 导出为 H，对于 G 中的所有 x 满足 $f(x.K) = x.a$。这个映射是 G 态射并且$f(K) = a$。这个映射是满射的，因为它的像是E的非空稳定子集。现在假设K = H，让我们证明f是单射的。如果$f(x.H) = f(y.H)$，则$x.a = y.a$，从而$x^{-1}y.a = a$和$x^{-1}y \in H$，从而$x.H = y.H$。

由于齐次 G 集非空，断言 (a) 由命题 6 得出。我们展示 (b)。设$f : G/H \to G/H'$为G集同构。 子群 H 是 H 的稳定子，因此，通过结构的迁移，稳定子元素 $G/H'$。因此，子群 $H$ 和 $H'$ 为共轭（no. 2，命题 2）。如果$H' = \alpha H \alpha^{-1}$，$H'$是元素$\alpha . H$的稳定子或$G/H$（no. 2，命题2），因此$G/H'$同构于$G/H$ （命题6）。

设$\zeta$和$\zeta'$为两个环，其支持度为不相交的。 如果

然后$\zeta \zeta'(x) = \zeta' \zeta(x) = x$。 如果$x$属于对$\zeta$的支持，则$\zeta'(x) = x$和$\zeta(x)$属于对$\zeta$、从而$\zeta \zeta'(x) = \zeta' \zeta(x) = \zeta(x)$的支持。 同理，当$x$属于得到$\zeta'$的支撑时，则$\zeta' \zeta(x) = \zeta \zeta'(x) = \zeta'(x)$。 因此$\zeta \zeta' = \zeta' \zeta$。 因此，$\zeta_i$是成对可置换的，对于$i \in I$和$x \in S_i$，$\sigma(x) = \zeta_i(x) \in S_i$。 映射$\sigma$和$\zeta_i$重合在$S_i$上，因此$S_i$在$\sigma$和$\mathfrak{S}_{S_i}$的子群下是稳定的，$\sigma$到$S_i$的限制产生的子群传递运行$S_i$；因此$S_i$是一个$\bar{\sigma}$轨道。 由于 $S_i$ 非空且成对不相交的，因此映射 $i \mapsto S_i$ 是单射的。 由于$\bigcup_i S_i$是$x$的集合，使得$\sigma(x) \neq x$，每个$\bar{\sigma}$轨道而不是单个元素的由……组成都是$S_i$之一。

(a) C 的元素的支持度是成对的不相交的；

(b) $\sigma = \prod_{\zeta \in C} \zeta$（C的元素可通过引理1成对置换）。

令$\bar{\sigma}$为$\sigma$生成的子群，并令S为$\bar{\sigma}$轨道的集合，而不是单个元素的由……组成。对于$s \in S$，如果$x \in s$则写$\zeta_s(x) = \sigma(x)$，如果$x \notin s$则写$\zeta_s(x) = x$。对于所有$s \in S$，$\zeta_s$是一个循环，其支持度为$s$和$\sigma = \prod_{s \in S} \zeta_s$，如应用所示，是E的任何元素的两侧。C的唯一性从引理1得出。

对于每个置换$\sigma$，令$F_\sigma$为$x \in E$的集合，使得$\sigma(x) = x$。我们通过在$p$上降序归纳来证明，每个置换$\sigma$使得$\mathrm{Card}(F_\sigma) = p$是乘积转置。如果$p \geq \mathrm{Card}(E)$，置换$\sigma$是E的恒等映射；它是转置空族中的乘积。如果$p < \mathrm{Card}(E)$，假设性质对于每个置换$\sigma'$都被证明，使得$\mathrm{Card}(F_{\sigma'}) > p$。现在$E - F_\sigma \neq \varnothing$；让$x \in E - F_\sigma$和$y \in \sigma(x)$。然后是$y \neq x$和$y \in E - F_\sigma$。让$\sigma' = \tau_{x,y} \cdot \sigma$。 集合$F_{\sigma'}$包含$F_\sigma$和$x$，因此$\mathrm{Card}(F_{\sigma'}) > \mathrm{Card}(F_\sigma) = p$。通过归纳假设$\sigma'$是乘积转置，因此$\sigma = \tau_{x,y} \cdot \sigma'$是乘积转置。

凭借命题 8，足以证明$\tau_{p,q}$、$1 \leq p < q \leq n$、属于到子群 H 由$\tau_{i, i+1}$、$1 \leq i \leq n-1$生成。我们通过$q-p$上的归纳展示这一点。对于$q-p = 1$来说，这是显而易见的。如果 $q-p > 1$，则 (公式 (4)) $\tau_{p,q} = \tau_{q-1,q} \tau_{p,q-1} \tau_{q-1,q}$。 归纳假设$\tau_{p,q-1} \in H$，因此$\tau_{p,q} \in H$。

如果$\sigma \in \mathfrak{S}_n$，$\{1, n\}$的元素的每个有序对$(i, j)$，使得$i < j$和$\sigma(i) > \sigma(j)$被称为$\sigma$的*反转*。让$\nu(\sigma)$表示$\sigma$的反转的数。

令 P 为从$\mathbf{Z}^n$到$\mathbf{Z}$的映射中的加法群。对于 $f \in P$ 和 $\sigma \in \mathfrak{S}_n$，令 $\sigma f$ 为由下式定义的 P 的元素

(5)

由此定义的P上$\mathfrak{S}_n$的作用为运算；对于所有 $\sigma, \tau \in \mathfrak{S}_n$ 和 $f \in P$、$\sigma f = f$ 和

公式 (5) 表明$\sigma(-f) = -\sigma f$ 对应$\sigma \in \mathfrak{S}_n$ 和$f \in P$。

设 $p$ 为 P 的元素，定义为

$p(1, 2, \ldots, n) = \prod_{i < j} (j - i) \neq 0$，因此$p \neq 0$。另一方面，如果$\sigma \in \mathfrak{S}_n$，那么

令C为有序对$(i, j)$的集合，使得$1 \leq i \leq n,\ 1 \leq j \leq n,\ i < j$。如果 $(i, j)$ 不是反转，置换 $\theta$ 在 C 上由设定 $\theta(i, j) = (\sigma(i), \sigma(j))$ 定义，如果 $(i, j)$ 是反转，则由 $\theta(i, j) = (\sigma(j), \sigma(i))$ 定义。这意味着$\sigma p = (-1)^{\nu(\sigma)} p$。