习题 12, § 5

(a) 证明每个置换 $\sigma \in \mathfrak{A}_n$ 是阶 3 周期的乘积（不属于 $\sigma$ 的一般组成周期）。 （证明两个转置的乘积并使用 § 5, no. 7、命题 9。）

(b) If $a_1, \ldots, a_p$ are $p$ distinct elements of $\{1, n\}$, let $(a_1a_2\ldots a_p)$ denote the cycle of order $p$ whose support is $\{a_1, a_2, \ldots, a_p\}$ and which maps $a_i$ to $a_{i+1}$ for $1 \leq i \leq p-1$ and $a_p$ to $a_1$. 证明$\mathfrak{A}_n$是由$n-2$循环$(1\ 2\ 3), (1\ 2\ 4), \ldots, (1\ 2\ n)$生成的。 （使用（a）。）

(c) 推出，如果$n$是奇数，则$\mathfrak{A}_n$由$(1\ 2\ 3)$和$(1\ 2\ \ldots\ n)$生成，如果$n$是偶数，则由$(1\ 2\ 3)$和$(2\ 3\ \ldots\ n)$生成。

(d) 证明，如果$\mathfrak{A}_n$包含的正常子群有阶3个周期，则它与$\mathfrak{A}_n$相同（证明这样的子群包含所有周期$(1\ 2\ k)$，$3 \leq k \leq n$）。