习题 12, § 12

设f为次数$n$的$\mathbf{Z}[X]$多项式，并令$p_1, p_2, p_3$为三个不同素数数，不除掉首项系数；令$f_1, f_2, f_3$ 分别在$\mathbf{F}_{p_1}[X], \mathbf{F}_{p_2}[X], \mathbf{F}_{p_3}[X]$ 中关闭典范像。假设$f_1$是线性因子的乘积和次数$n - 1$的不可约因子，$f_2$是第二个次数的不可约因子和不可约乘积奇数次数的因子，最后$f_3$是不可约的。证明在这些下条件 f 在 $\mathbf{Q}[X]$ 中是不可约的，并且 $\mathbf{Q}$ 上的多项式 f 的伽罗瓦群同构于对称群 $\mathfrak{S}_n$（《戴德金准则》；使用例 11 以及 I， p. 63，提案 9）。