Bourbaki

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1. 结构和同构

这个章的目的是一劳永逸地描述数学中经常出现的形成性构造和证明（cf.章I, § 1, no. 3和§ 2, no. 2）中的某个数。

1. 阶梯

梯队构造概形为自然整数[^1]ci=(ai, bi)c_i = (a_i,\ b_i)、满足序列c1c_1、c2c_2、…、有序对、cmc_m如下条件：

(a)若bi=0b_i = 0，则1⩽ai⩽i−11 \leqslant a_i \leqslant i - 1。 (b)若ai≠0a_i \neq 0和bi≠0b_i \neq 0，则1⩽ai⩽i−11 \leqslant a_i \leqslant i - 1和1⩽bi⩽i−11 \leqslant b_i \leqslant i - 1。

这些条件意味着c1=(0, b1)c_1 = (0,\ b_1)，还有b1>0b_1 > 0。如果nn是出现在对(0, bi)(0,\ b_i)中的整数bib_i中的最大的，则c1,c2,...,cmc_1, c_2, ..., c_m被称为构造概形*在nn上项*。

给定 nn 项上的梯队构造概形 S=(c1, c2, …, cm)\mathrm{S} = (c_1,\ c_2,\ \ldots,\ c_m)，并在理论 T\mathscr{T} 中给出 nn 项 E1\mathrm{E}_1、E2\mathrm{E}_2、...、En\mathrm{E}_n，即强于集合论，概形* S\mathrm{S} on E1\mathrm{E}_1, ..., En\mathrm{E}_n 的*梯队构造被定义为序列 A1\mathrm{A}_1, A2\mathrm{A}_2, ..., Am\mathrm{A}_m T\mathscr{T}理论中的mm项，由以下条件逐步定义：

(a)若ci=(0, bi)c_i = (0,\ b_i)，则Ai\mathrm{A}_i为项Ebi\mathrm{E}_{b_i}。 (b)若ci=(ai, 0)c_i = (a_i,\ 0)，则Ai\mathrm{A}_i为项P(Aai)\mathfrak{P}(\mathrm{A}_{a_i})。 (c)若ci=(ai, bi)c_i = (a_i,\ b_i)，其中ai≠0a_i \neq 0和bi≠0b_i \neq 0，则Ai\mathrm{A}_i为项Aai×Abi\mathrm{A}_{a_i} \times \mathrm{A}_{b_i}。

E1\mathrm{E}_1、...、En\mathrm{E}_n 上概形 S 的梯队构造的最后一个项 Am\mathrm{A}_m 称为基集合* 上的概形* S * 梯队E1\mathrm{E}_1，...，En\mathrm{E}_n；在随后的一般论证中，它将被表示为记号S(E1,…,En)\mathrm{S}(\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n)。

例 03V4

给定两个集合 E、F，集合 P(P(E))×P(F)\mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\mathrm{E})) \times \mathfrak{P}(\mathrm{F}) 是 E、F 上的一个梯队，其中概形

(0,1),(0,2),(1,0),(3,0),(2,0),(4,5).(0, 1), \quad (0, 2), \quad (1, 0), \quad (3, 0), \quad (2, 0), \quad (4, 5).

也是E、F上概形的梯队

(0,2),(0,1),(1,0),(2,0),(4,0),(5,3).(0, 2), \quad (0, 1), \quad (1, 0), \quad (2, 0), \quad (4, 0), \quad (5, 3).

因此，不同的概形可能会在相同的项上产生相同的梯队。

2. 典范扩张映射

设S=(c1,c2,…,cm)\mathrm{S} = (c_1, c_2, \ldots, c_m)为nn项上的梯队构造概形。 令 E1\mathrm{E}_1, ..., En\mathrm{E}_n, E1′\mathrm{E}'_1, ..., En′\mathrm{E}'_n 为集合（T\mathscr{T} 中的项），并令 f1f_1, ..., fnf_n 为 T\mathscr{T} 中的项，使得关系“fif_i是Ei\mathrm{E}_i的映射到Ei′\mathrm{E}'_i”对于1⩽i⩽n1 \leqslant i \leqslant n来说是T\mathscr{T}中的定理。 令A1\mathrm{A}_1，...，Am\mathrm{A}_m（分别为A1′\mathrm{A}'_1，...，Am′\mathrm{A}'_m）为E1\mathrm{E}_1，...，En\mathrm{E}_n（分别为E1′\mathrm{E}'_1，...，En′\mathrm{E}'_n）上概形 S 的梯队构造。 我们一步步对mm项g1g_1，...，gmg_m进行定义序列，使得gig_i是*Ai\mathrm{A}_i*进入*Ai′\mathrm{A}'_i（对于1⩽i⩽m1 \leqslant i \leqslant m）的*映射，如下所示条件：

(a) 如果ci=(0,bi)c_i = (0, b_i)，使得Ai=Ebi\mathrm{A}_i = \mathrm{E}_{b_i}和Ai′=Ebi′\mathrm{A}'_i = \mathrm{E}'_{b_i}，则gig_i是映射fbif_{b_i}。

(b) 如果ci=(ai,0)c_i = (a_i, 0)，使得Ai=P(Aai)\mathrm{A}_i = \mathfrak{P}(\mathrm{A}_{a_i})和Ai′=P(Aai′)\mathrm{A}'_i = \mathfrak{P}(\mathrm{A}'_{a_i})，则gig_i是gaig_{a_i}到子集的集合的*规范扩张*g^ai\hat{g}_{a_i}（章II, § 5, no. 1）。

(c) 如果ci=(ai,bi)c_i = (a_i, b_i)，其中ai≠0a_i \neq 0和bi≠0b_i \neq 0，使得

Ai=Aai×AbiandAi′=Aai′×Abi′,\mathrm{A}_i = \mathrm{A}_{a_i} \times \mathrm{A}_{b_i} \qquad \text{and} \qquad \mathrm{A}'_i = \mathrm{A}'_{a_i} \times \mathrm{A}'_{b_i},

那么 gig_i 是 gaig_{a_i} 和 gbig_{b_i} 到 Aai×Ab\mathrm{A}_{a_i} \times \mathrm{A}_b (章 II, § 3, no. 9) 的*规范扩张* gai×gbig_{a_i} \times g_{b_i}。

这个序列的最后一个项gmg_m被称为*规范扩张，与概形* S，*映射* f1f_1，...，fnf_n，并用⟨f1,…,fn⟩S\langle f_1, \ldots, f_n \rangle^{\mathrm{S}}表示。

¶ 下面的判据可以一步步验证：

CST1。 如果 fif_i 是映射的 Ei\mathrm{E}_i 进入 Ei′\mathrm{E}'_i，*并且如果* fi′f'_i 是映射的 Ei′\mathrm{E}'_i 进入 Ei′′\mathrm{E}''_i (1⩽i⩽n1 \leqslant i \leqslant n*)，则对于每个梯队构造概形* S 上 nn 项我们有

⟨f1′∘f1,f2′∘f2,…,fn′∘fn⟩S=⟨f1′,f2′,…,fn′⟩S∘⟨f1,f2,…,fn⟩S.\langle f'_1 \circ f_1, f'_2 \circ f_2, \ldots, f'_n \circ f_n \rangle^{\mathrm{S}} = \langle f'_1, f'_2, \ldots, f'_n \rangle^{\mathrm{S}} \circ \langle f_1, f_2, \ldots, f_n \rangle^{\mathrm{S}}.

CST2。 如果fif_i是单射（或*满射*）*对于* 1⩽i⩽n1 \leqslant i \leqslant n，*则*⟨f1,…,fn⟩S\langle f_1, \ldots, f_n \rangle^{\mathrm{S}} 是单射（或*满射*）。

该标准源自扩张 g^\hat{g} (章 II, § 5, no. 1, 命题 1) 和扩张 g×hg \times h (章 II, § 3, no. 9) 的相应的属性。

CST3。 如果fif_i是Ei\mathrm{E}_i*的双射*到*Ei′\mathrm{E}'_i，*并且如果fi−1f_i^{-1}是逆双射*[^2]，*那么*⟨f1,…,fn⟩S\langle f_1, \ldots, f_n \rangle^{\mathrm{S}}*是双射并且*⟨f1−1,…,fn−1⟩S\langle f_1^{-1}, \ldots, f_n^{-1} \rangle^{\mathrm{S}}*是它的逆；在其他字*，

(⟨f1,…,fn⟩S)−1=⟨f1−1,…,fn−1⟩S.(\langle f_1, \ldots, f_n \rangle^{\mathrm{S}})^{-1} = \langle f_1^{-1}, \ldots, f_n^{-1} \rangle^{\mathrm{S}}.

这紧接着 CST1 和 CST2。

3. 可运输关系

令T\mathscr{T}为比集合论更强的理论，令x1,…,xnx_1, \ldots, x_n、s1,…,sps_1, \ldots, s_p为与T\mathscr{T}常数不同的不同字母，并令A1,…,Am\mathrm{A}_1, \ldots, \mathrm{A}_m为T\mathscr{T}中的项，其中没有字母xix_i (1⩽i⩽n)(1 \leqslant i \leqslant n) 和 sjs_j (1⩽j⩽p)(1 \leqslant j \leqslant p) 出现。令S1,…,Sp\mathrm{S}_1, \ldots, \mathrm{S}_p为n+mn + m项上的构造概形梯队。然后关系T{x1,…,xn,s1,…,sp}\mathrm{T}\{x_1, \ldots, x_n, s_1, \ldots, s_p\}：

“s1∈S1(x1,…,xn,A1,…,Am)s_1 \in \mathrm{S}_1(x_1, \ldots, x_n, \mathrm{A}_1, \ldots, \mathrm{A}_m)、s2∈S2(x1,…,xn,A1,…,Am)s_2 \in \mathrm{S}_2(x_1, \ldots, x_n, \mathrm{A}_1, \ldots, \mathrm{A}_m)、…\ldots、sp∈Sp(x1,…,xn,A1,…,Am)s_p \in \mathrm{S}_p(x_1, \ldots, x_n, \mathrm{A}_1, \ldots, \mathrm{A}_m)”

被称为字母s1,…,sps_1, \ldots, s_p的*典型化*。

¶ 令 R{x1,…,xn,s1,…,sp}\mathrm{R}\{x_1, \ldots, x_n, s_1, \ldots, s_p\} 为 T\mathscr{T} 中的关系，其中包含某些字母 xix_i、sjs_j（也可能还有其他字母）。那么 R 被认为是*可转移* (in T\mathscr{T}) 相对于典型化 T，*xix_i (1⩽i⩽n)(1 \leqslant i \leqslant n) 被视为主要基集合和* Ah\mathrm{A}_h (1⩽h⩽m)(1 \leqslant h \leqslant m) 作为辅助基集合，如果满足以下条件：令y1,…,yn,f1,…,fny_1, \ldots, y_n, f_1, \ldots, f_n为不同于xix_i(1⩽i⩽n)(1 \leqslant i \leqslant n)、sjs_j(1⩽j⩽p)(1 \leqslant j \leqslant p)、T\mathscr{T}的常量以及出现在R或项中的所有字母的不同字母Ah\mathrm{A}_h(1⩽h⩽m)(1 \leqslant h \leqslant m)，并令Idh\mathrm{Id}_h(1⩽h⩽m)(1 \leqslant h \leqslant m)表示Ah\mathrm{A}_h自身的恒等映射。然后关系

(1)“T{x1,…,xn,s1,…,sp}\mathrm{T}\{x_1, \ldots, x_n, s_1, \ldots, s_p\}和（f1f_1是x1x_1到y1y_1的双射）和…\ldots和（fnf_n是xnx_n到yny_n的双射）”

意味着，在T\mathscr{T}，*关系*

(2) R{x1,…,xn,s1,…,sp}⇔R{y1,…,yn,s1′,…,sp′}\mathrm{R}\{x_1, \ldots, x_n, s_1, \ldots, s_p\} \Leftrightarrow \mathrm{R}\{y_1, \ldots, y_n, s'_1, \ldots, s'_p\}，其中

(3)sj′=⟨f1,…,fn,Id1,…,Idm⟩sj(sj)(1⩽j⩽p).(3) \qquad s'_j = \langle f_1, \ldots, f_n, \mathrm{Id}_1, \ldots, \mathrm{Id}_m \rangle^s{}_j(s_j) \qquad (1 \leqslant j \leqslant p).

在没有辅助集合的情况下，还有一个类似但更简单的定义。

对于例，如果n=p=2n = p = 2并且如果典型化T是“s1∈x1s_1 \in x_1和s2∈x1s_2 \in x_1”，则关系s1=s2s_1 = s_2是可传输的。另一方面，关系x1=x2x_1 = x_2不可运输。

4. 结构种

令T\mathscr{T}为比集合论更强的理论。 T\mathscr{T}中的结构种*是由以下组合组成的文本Σ\Sigma：

(1) 某个数字母x1,…,xn,sx_1, \ldots, x_n, s，彼此不同且与T\mathscr{T}常数不同； x1,…,xnx_1, \ldots, x_n称为结构种Σ\Sigma的*本色基集合*；

(2) T\mathscr{T}中项A1,…,Am\mathrm{A}_1, \ldots, \mathrm{A}_m中的某个数，其中没有x1,…,xn,sx_1, \ldots, x_n, s出现，称为Σ\Sigma的*辅助基集合*； Σ\Sigma 可能包含无辅助基集合（但必须包含至少一个主基集合）；

(3) 典型化T{x1,…,xn,s}\mathrm{T}\{x_1, \ldots, x_n, s\}：

s∈S(x1,…,xn,A1,…,Am),s \in \mathrm{S}(x_1, \ldots, x_n, \mathrm{A}_1, \ldots, \mathrm{A}_m),

其中 S 是 n+mn + m 项 (no. 1) 上的梯队构造概形； T{x1,…,xn,s}\mathrm{T}\{x_1, \ldots, x_n, s\}被称为结构种Σ\Sigma的*典型刻画*；

(4) 关系 R{x1,…,xn,s}\mathrm{R}\{x_1, \ldots, x_n, s\} 相对于典型 T 来说是*可移动的*（在 T\mathscr{T} 中），xix_i 是主基集合，Ah\mathrm{A}_h 是辅助基集合 （no. 3）； R 称为结构种 Σ\Sigma 的*公理*。

理论TΣ\mathscr{T}_\Sigma与T\mathscr{T}具有相同的公理概形，并且其显式公理是T\mathscr{T}的公理，与公理“T和R”一起被称为*结构种*Σ\Sigma理论。因此，TΣ\mathscr{T}_\Sigma的常数是T\mathscr{T}的常数以及T或R中出现的字母。

¶ 设T′\mathscr{T}'为比T\mathscr{T}更强的理论，并令E1,…,En,U\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n, \mathrm{U}为T′\mathscr{T}'中的项。在T′\mathscr{T}'理论中，U被认为是类*Σ\Sigma*在主体基集合*E1,…,En\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n上的*结构，*以*A1,…,Am\mathrm{A}_1, \ldots, \mathrm{A}_m*作为辅助基集合*，如果关系

"T{E1,…,En,U} and R{E1,…,En,U}"\text{"}\mathrm{T}\{\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n, \mathrm{U}\} \text{ and } \mathrm{R}\{\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n, \mathrm{U}\}\text{"}

是*T′\mathscr{T}'中的*定理。如果是这样，那么对于理论TΣ\mathscr{T}_\Sigma关系B{E1,…,En,U}\mathrm{B}\{\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n, \mathrm{U}\}中的每个定理B{x1,…,xn,s}\mathrm{B}\{x_1, \ldots, x_n, s\}来说，都是*T′\mathscr{T}'中的*定理（章I, § 2, no. 3）。在TΣ\mathscr{T}_\Sigma中，常数ss称为类* Σ\Sigma的*泛型结构。

¶ 在理论 T′\mathscr{T}' 中，本金基集合 E1,…,En\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n 被认为是 * 赋予结构* U\mathrm{U}。显然，U\mathrm{U} 是元素 / 集合

S(E1,…,En,A1,…,Am).\mathrm{S}(\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n, \mathrm{A}_1, \ldots, \mathrm{A}_m).

S(E1,…,En,A1,…,Am)\mathrm{S}(\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n, \mathrm{A}_1, \ldots, \mathrm{A}_m) 元素 V\mathrm{V} 集合，因此满足关系 R{E1,…,En,V}\mathrm{R}\{\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n, \mathrm{V}\} 是类* Σ\Sigma * 上的结构 *集合 * E1,…,En\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n（它可能是空的）。

例

例 1 03V5

取T\mathscr{T}为集合论，并考虑没有辅助基集合的结构种，一个主基集合A\mathrm{A}，典型的刻画s∈P(A×A)s \in \mathfrak{P}(\mathrm{A} \times \mathrm{A})，以及公理

s∘s=sands∩s−1=ΔAs \circ s = s \quad \text{and} \quad s \cap \overset{-1}{s} = \Delta_{\mathbf{A}}

（ΔA\Delta_{\mathbf{A}}是A×A\mathrm{A} \times \mathrm{A}的对角线），相对于典型化s∈P(A×A)s \in \mathfrak{P}(\mathrm{A} \times \mathrm{A})来说，它是可移动的关系，这一点很容易验证。显然，这个结构种的理论就是*有序集*（章III, §1, no. 3）的理论；因此这样定义的结构的类也称为A\mathrm{A}上序结构*的*类。在章III，我们看到很多集合的例都被赋予了这个类的结构。

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了 III § 1. 序关系。 有序集

被以下引用 注 2, 例 3

例 2 03V6

取T\mathscr{T}为集合论，并考虑结构种没有辅助基集合，一个主基集合A\mathrm{A}，典型的刻画F∈P((A×A)×A)\mathrm{F} \in \mathfrak{P}((\mathrm{A} \times \mathrm{A}) \times \mathrm{A})，并且作为可传输公理关系 “F 是一个函数图，其定义域为 A×A\mathrm{A} \times \mathrm{A}”。这个类的结构是所谓的*代数结构*的特殊情况，而函数其图是F\mathrm{F}（A×A\mathrm{A} \times \mathrm{A}到A\mathrm{A}的映射）被称为*the*（*处处定义*）*内部这样结构的合成*律。

被以下引用 3

被以下引用 例 1, 习题 9, § 2, 例 2, IV § 2

例 3 03V7

作为之前，令T\mathscr{T}为集合论，并考虑结构种，它没有辅助基集合，一个主基集合A\mathrm{A}，典型的刻画 V∈P(P(A))\mathrm{V} \in \mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\mathrm{A}))，并且作为公理，可运输关系

(∀V) ((V′⊂V)⇒((⋃X∈V′X)∈V))(\forall \mathrm{V}) \, ((\mathrm{V}' \subset \mathrm{V}) \Rightarrow ((\bigcup_{\mathrm{X} \in \mathrm{V}'} \mathrm{X}) \in \mathrm{V}))
and(∀X)(∀Y)((X∈V and Y∈V)⇒((X∩Y)∈V)).\text{and} \quad (\forall \mathrm{X})(\forall \mathrm{Y})((\mathrm{X} \in \mathrm{V} \text{ and } \mathrm{Y} \in \mathrm{V}) \Rightarrow ((\mathrm{X} \cap \mathrm{Y}) \in \mathrm{V})).

这个结构种称为拓扑结构*的*类。这个类的结构又称为*拓扑*，关系X∈V\mathrm{X} \in \mathrm{V}用说表示，X\mathrm{X}是拓扑V\mathrm{V}中的*开集合* （*一般拓扑*、章I, § 1）。

引用了 1 · 被以下引用 5

引用了 TG I § 1. 营业集合、邻域、休息集合

被以下引用 注 1, 例 2, 习题 7, § 2, 习题 8, § 2, 例 3, IV § 2

例 4 03V8

\* 将T\mathscr{T}作为环结构除法的类的理论，它有（除其他外）一个常数K作为唯一（主）基集合。 左向量空间之上 K 的结构类有K作为辅助基集合，主要基集合E，以及典型的刻画关系

V∈P((E×E)×E)×P((K×E)×E)V \in \mathfrak{P}((E \times E) \times E) \times \mathfrak{P}((K \times E) \times E)

（pr1_1V是E中加法的图，pr2_2V是标量乘法的图）；我们不会在这里陈述这个结构种的公理。

被以下引用 1

被以下引用 注 1

例 5 03V9

再次令T\mathscr{T}为集合论；在这个理论中，复数的域C\mathbf{C}是项，其中包含没有字母。 维数 n* 的*复杂解析流形的结构类有C\mathbf{C}作为辅助基集合，以及一个主基集合 V。我们不会在这里指出典型的刻画或类或结构的公理。 \

注

注 1 03VA

在应用中，经常出现这样的情况（如上面的例 4），梯队S(E1,…,En,A1,…,Am)S(E_1, \ldots, E_n, A_1, \ldots, A_m)是阶梯的乘积

S1(E1,…,Am)×⋯×Sp(E1,…,Am).S_1(E_1, \ldots, A_m) \times \cdots \times S_p(E_1, \ldots, A_m).

如果是这样，Σ\Sigma的定义中的字母ss通常会被替换为“pp元组”(s1,…,sp)(s_1, \ldots, s_p)（cf.章II, § 2, no. 1）。

此外，结构种Σ\Sigma公理最常被写为几个可运输关系中的合取（如上面的例3）。这些关系称为类Σ\Sigma的*公理*。

引用了 3

引用了 例 4, II § 2. 有序对, 例 3

注 2 03VB

命名为数学中最常用的结构种，以及赋予这些类中的结构的集合。因此，*有序的集合* (章 III, § 1) 是集合赋予序结构 (例 1)； \* 在本级数后面的书中，我们将*群、域、拓扑空间、可微流形*等定义概念等，所有这些都表示集合被赋予了一定的性质。 结构。 \

引用了 2

引用了 III § 1. 序关系。 有序集, 例 1

注 3 03VC

通过滥用语言，在集合论T\mathscr{T}中，给出nn不同的字母x1,…,xnx_1, \ldots, x_n（没有典型的刻画也没有公理）被认为是结构Σ0\Sigma_0的类，称为集合*的*结构*在nn本金基集合x1,…,xnx_1, \ldots, x_n。

被以下引用 1

被以下引用 注

5. 同构和迁移结构

令Σ\Sigma在理论T\mathscr{T}中为结构种，在nn主体基集合x1,…,xnx_1, \ldots, x_n，mm辅助基集合A1,…,AmA_1, \ldots, A_m。令S为n+mn + m字母上的梯队构造概形，其特征在于Σ\Sigma的典型刻画，并令R为Σ\Sigma的公理。在强于T\mathscr{T}的理论T′\mathscr{T}'中，令U为集合E1,…,EnE_1, \ldots, E_n上类Σ\Sigma的结构（作为主体基集合）并令U′'为结构*与集合E1′,…,En′E'_1, \ldots, E'_n相同的类*。最后，让fif_i（在T′\mathscr{T}'中）是EiE_i到Ei′\mathrm{E}'_i(1⩽i⩽n)(1 \leqslant i \leqslant n)的*双射*。那么 (f1,…,fn)(f_1, \ldots, f_n) 被称为集合 E1,…,En\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n 的 同构的，赋有结构 U，到集合 E1′,…,En′\mathrm{E}'_1, \ldots, \mathrm{E}'_n，赋有结构 U′\mathrm{U}'，如果我们有（在 T′\mathscr{T}' 中）

(4)

⟨f1,…,fn,Id1,…,Idm⟩S(U)=U′\langle f_1, \ldots, f_n, \mathrm{Id}_1, \ldots, \mathrm{Id}_m \rangle^{\mathrm{S}}(\mathrm{U}) = \mathrm{U}'

其中 Idh\mathrm{Id}_h 表示 Ah\mathrm{A}_h 的恒等映射到自身 (1⩽h⩽m)(1 \leqslant h \leqslant m) 上。

¶ 令 fi′f'_i 为双射 fif_i (1⩽i⩽n)(1 \leqslant i \leqslant n) 的倒数。它直接从 (4) 和标准 CST3 (no. 2) 得出

⟨f1′,…,fn′,Id1,…,Idm⟩S(U′)=U\langle f'_1, \ldots, f'_n, \mathrm{Id}_1, \ldots, \mathrm{Id}_m \rangle^{\mathrm{S}}(\mathrm{U}') = \mathrm{U}

因而，(f1′,…,fn′)(f'_1, \ldots, f'_n)是E1′,…,En′\mathrm{E}'_1, \ldots, \mathrm{E}'_n的*同构的*，赋予U′\mathrm{U}'，到E1,…,En\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n，赋予U。同构的(f1,…,fn)(f_1, \ldots, f_n)和(f1′,…,fn′)(f'_1, \ldots, f'_n)据说是彼此的“逆”。

如果存在E1,…,En\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n的同构到E1′,…,En′\mathrm{E}'_1, \ldots, \mathrm{E}'_n，则赋予U′\mathrm{U}'的E1′,…,En′\mathrm{E}'_1, \ldots, \mathrm{E}'_n被认为与赋予U的E1,…,En\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n“同构的”；在这种情况下，结构 U 和 U′\mathrm{U}' 被称为“同构的”。

¶ 上述定义与CST1一起意味着以下标准：

CST4。 令 U、U′\mathrm{U}'、U′′\mathrm{U}'' 分别为主体基集合 E1,…,En\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n、E1′,…,En′\mathrm{E}'_1, \ldots, \mathrm{E}'_n、E1′′,…,En′′\mathrm{E}''_1, \ldots, \mathrm{E}''_n*上相同类* Σ\Sigma 的三个结构。让fif_i*成为*Ei\mathrm{E}_i*的双射*Ei′\mathrm{E}'_i，*并让*gig_i*成为*Ei′\mathrm{E}'_i*的双射*Ei′′\mathrm{E}''_i(1⩽i⩽n)(1 \leqslant i \leqslant n)。 如果(f1,…,fn)(f_1, \ldots, f_n)*和*(g1,…,gn)(g_1, \ldots, g_n)*是同构，那么*(g1∘f1,…,gn∘fn)(g_1 \circ f_1, \ldots, g_n \circ f_n)也是。

E1,…,En\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n的同构到E1,…,En\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n（相对于*相同*结构）被称为E1,…,En\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n的*自同构*。 E1,…,En\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n的两个自同构的合成是自同构，自同构的逆也是自同构，\*使得E1,…,En\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n形式的自同构有*群*。 \*

注 03VD

通过滥用语言，如果fif_i是Ei\mathrm{E}_i到Ei′\mathrm{E}'_i(1⩽i⩽n)(1 \leqslant i \leqslant n)的任何双射，则相对于类，(f1,…,fn)(f_1, \ldots, f_n)被称为是E1,…,En\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n到E1′,…,En′\mathrm{E}'_1, \ldots, \mathrm{E}'_n的同构结构共集合（no. 4、注 3）。

CST5。 理论上 T′\mathscr{T}' 强于 T\mathscr{T}，*让* U 成为类 Σ\Sigma 在 E1,…,En\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n的结构，*并让* fif_i 成为 Ei\mathrm{E}_i 的双射集合 Ei′\mathrm{E}'_i(1⩽i⩽n)(1 \leqslant i \leqslant n)。 则存在类 Σ\Sigma 在 E1′,…,En′\mathrm{E}'_1, \ldots, \mathrm{E}'_n 上的唯一结构，使得 (f1,…,fn)(f_1, \ldots, f_n) 是 E1,…,En\mathrm{E}_1, \ldots, \mathrm{E}_n 到 E1′,…,En′\mathrm{E}'_1, \ldots, \mathrm{E}'_n 的同构。

对于这个结构，如果存在的话，只能是关系(4)定义的项U′\mathrm{U}'； 项确实是类Σ\Sigma的结构还有待验证，即关系R{E1′,…,En′,U′}\mathrm{R}\{\mathrm{E}'_1, \ldots, \mathrm{E}'_n, \mathrm{U}'\}在T′\mathscr{T}'中为真。但这是基于 R{x1,…,xn,s}\mathrm{R}\{x_1, \ldots, x_n, s\} 是*可运输*的事实，对于

R{E1′,…,En′,U′}R\{E'_1, \ldots, E'_n, U'\} 在 T′\mathscr{T}' 中相当于关系 R{E1,…,En,U}R\{E_1, \ldots, E_n, U\} (no. 3)，在 T′\mathscr{T}' 和假设中也是如此。

¶ 结构 U′U' 据说是通过通过双射映射* f1,…,fnf_1, \ldots, f_n 将结构 UU 传输到集合 E1′,…,En′E'_1, \ldots, E'_n *获得。因此，相同类的两个结构是同构的，当且仅当每个迁移或结构从另一个迁移获得。

类Σ\Sigma的*任意*两个结构*必然同构*； 类或结构 Σ\Sigma 则被称为“单价”。 \* 这是无限循环群的结构（与Z\mathbf{Z}同构的）、特征零的素数域的结构（与Q\mathbf{Q}同构的）、完整阿基米德有序域的结构的情况（同构于R\mathbf{R}），代数闭的、连通、局部紧拓扑域的结构（同构于C\mathbf{C}），以及非交换、连通、局部紧拓扑除法的结构环（同构于H\mathbf{H}，除法） 环四元数）。对于其中一些结构的类，对于特征零的素数域的例，或者完整的阿基米德有序域，除了恒等映射之外，甚至没有任何自同构；但上面给出的其他例确实存在这样的自同构（对于例，Z\mathbf{Z}中的对称性x→−xx \rightarrow -x）。 \

可以看出，上面的类或结构本质上是经典数学中的基。另一方面，群结构的\* 类、有序集合的结构种和拓扑结构的类不是单价的。 \

引用了 1

引用了 注 3

6. 结构的演绎

令Σ\Sigma在理论T\mathscr{T}中为结构种，以nn为主基集合x1,…,xnx_1, \ldots, x_n，以mm辅助基集合A1,…,AmA_1, \ldots, A_m。令ss为Σ\Sigma的泛型结构，令TT为n+mn + m项上的梯队构造概形。 项 V{x1,…,xn,s}V\{x_1, \ldots, x_n, s\} 其中包含除了 TΣ\mathscr{T}_\Sigma 的常量之外没有任何字母被认为是型 T(x1,…,xn,A1,…,Am)T(x_1, \ldots, x_n, A_1, \ldots, A_m) ss 的*内在*，如果它满足以下条件 ：

(1) 关系 V{x1,…,xn,s}∈T(x1,…,xn,A1,…,Am)V\{x_1, \ldots, x_n, s\} \in T(x_1, \ldots, x_n, A_1, \ldots, A_m) 是 TΣ\mathscr{T}_\Sigma 中的定理；

(2) 设TΣ′\mathscr{T}'_\Sigma为TΣ\mathscr{T}_\Sigma公理的公理邻接“fif_i是xix_i的双射到yiy_i”(1⩽i⩽n)(1 \leqslant i \leqslant n)（其中字母yiy_i和fif_i彼此不同，并且与TΣ\mathscr{T}_\Sigma的常数不同，对于1⩽i⩽n1 \leqslant i \leqslant n）；如果s′s'是ss通过(f1,…,fn)(f_1, \ldots, f_n)（no. 5）运输结构，则

V{y1,…,yn,s′}=⟨f1,…,fn.Id1,…,Idm⟩T(V{x1,…,xn,s})V\{y_1, \ldots, y_n, s'\} = \langle f_1, \ldots, f_n. \mathrm{Id}_1, \ldots, \mathrm{Id}_m \rangle^{\mathrm{T}}(V\{x_1, \ldots, x_n, s\})

TΣ′\mathscr{T}'_\Sigma 中有定理。

结构种理论中的项通向定义的大部分都是内在的项。

¶ 令Θ\Theta在理论T\mathscr{T}中为另一个结构种，在rr主基集合u1,…,uru_1,\ldots,u_r，pp辅助基集合B1,…,BpB_1,\ldots,B_p，令t∈T(u1,…,ur,B1,…,Bp)t\in T(u_1,\ldots,u_r,B_1,\ldots,B_p)为Θ\Theta（no. 4）的典型刻画。那么 r+1r+1 项 P,U1,…,UrP,U_1,\ldots,U_r 的系统，ss 的固有值，并且理论上，PP 是 U1,…,UrU_1,\ldots,U_r 上的类 Θ\Theta 的结构 TΣ\mathscr{T}_\Sigma，从类Σ\Sigma结构称为类Θ\Theta结构演绎的过程。由于滥用语言，项PP通常被称为演绎的过程。

¶ 令 T′\mathscr{T}' 成为比 T\mathscr{T} 更强的理论。如果E1,…,EnE_1,\ldots,E_n上类Σ\SigmaT′\mathscr{T}'中S\mathscr{S}为结构，则P{E1,…,En,S}P\{E_1,\ldots,E_n,\mathscr{S}\}为rr集合上类Θ\Theta结构 Fj=Uj{E1,…,En,S}F_j=U_j\{E_1,\ldots,E_n,\mathscr{S}\}(1≤j≤r)(1\leq j\leq r)，据说是通过过程PP从S\mathscr{S}推导出来的，或者从属于S\mathscr{S}。 假设项 P,U1,…,UrP,U_1,\ldots,U_r 是 ss 的内在特征，此外还意味着以下标准：

CST6. 设(g1,…,gn)(g_1,\ldots,g_n)为E1,…,EnE_1,\ldots,E_n的同构，赋予类Σ\Sigma的结构S\mathscr{S}，到E1′,…,En′E'_1,\ldots,E'_n，赋予相同的结构S′\mathscr{S}' 类。如果 UjU_j 是型 P(Tj)\mathfrak{P}(T_j)，则将

hj=⟨g1,…,gn,Id1,…,Idm⟩Tj(1≤j≤r), h_j=\langle g_1,\ldots,g_n,\mathrm{Id}_1,\ldots,\mathrm{Id}_{m}\rangle^{T_j}\quad(1\leq j\leq r),

并让 Fj′=Uj{E1′,…,En′,S′}F'_j=U_j\{E'_1,\ldots,E'_n,\mathscr{S}'\} (1≤j≤r)(1\leq j\leq r)。那么当集合的这些系统分别被赋予从S\mathscr{S}和S′\mathscr{S}'推导出类Θ\Theta的结构时，(h1,…,hr)(h_1,\ldots,h_r)就是F1,…,FrF_1,\ldots,F_r的同构到F1′,…,Fr′F'_1,\ldots,F'_r通过程序PP。

很明显，项 x1,…,xnx_1,\ldots,x_n 是ss 的固有特征。在很多情况下，项U1,…,UrU_1,\ldots,U_r是某些字母x1,…,xnx_1,\ldots,x_n；通过过程PP从ss推导出类Θ\Theta的结构则被称为ss基础上的结构。

例

例 1 03VE

\* 拓扑群结构的类具有单一主体基集合AA，没有辅助基集合，相应的通用结构是对(s1,s2)(s_1,s_2) （s1s_1为AA上合成律的图，以及AA拓扑中开集合s2s_2集合；cf.通用拓扑， 章III, § 1）。 项s1,s2s_1,s_2中的每一个都是演绎的过程，并分别提供拓扑群结构(s1,s2)(s_1,s_2)底层的群结构和拓扑。

同样，从向量空间结构可以推导出潜在的交换律群结构。从环结构可以推导出一个基础交换律群结构和一个（乘法）半群

IV 结构

结构。从可微分流形的结构可以推导出底层拓扑等。

引用了 1

引用了 TG III § 1. 群上的拓扑

例 2 03VF

超过C\mathbf{C}（或R\mathbf{R}）的向量空间结构的类，其本金基集合EE，辅助基集合等于C\mathbf{C}（分别为R\mathbf{R}），以及典型的刻画

s1∈P((E×E)×E)ands2∈P((C×E)×E) s_1\in\mathfrak{P}((E\times E)\times E)\qquad\text{and}\qquad s_2\in\mathfrak{P}((\mathbf{C}\times E)\times E)

（分别为s1∈P((E×E)×E)s_1\in\mathfrak{P}((E\times E)\times E)和s2∈P((R×E)×E)s_2\in\mathfrak{P}((\mathbf{R}\times E)\times E)）。

对(s1,s2∩((R×E)×E))(s_1,s_2\cap((\mathbf{R}\times E)\times E))是向量空间结构的演绎在R\mathbf{R}上从向量空间结构在C\mathbf{C}上的过程（“标量域的限制到R\mathbf{R}”）。 \

例 3 03VG

假设Θ\Theta与Σ\Sigma具有相同的（主要和辅助）基集合，以及相同的典型刻画。 If, moreover, the axiom of Σ\Sigma implies (in T\mathscr{T}) the axiom of Θ\Theta, it is clear that the term ss is a procedure of deduction of a structure of species Θ\Theta from a structure of species Σ\Sigma. Θ\Theta is then said to be poorer than Σ\Sigma, and Σ\Sigma is richer than Θ\Theta. 类Σ\Sigma中的每个结构，在理论中T′\mathscr{T}'强于T\mathscr{T}，那么也是类Θ\Theta中的结构。 For example, the species of structures of totally ordered sets (obtained by taking as axiom the conjunction of the axiom of order structures (no. 4, Example 1) and the relation s∪s−1=A×As\cup s^{-1}=A\times A) is richer than the species of order structures. \*The species of commutative group structures is richer than the species of group structures. 紧凑拓扑空间结构的类比拓扑结构的类丰富，等等\

引用了 1

引用了 例 1

例 4 077U

\* 当Σ\Sigma和Θ\Theta中的每一个是群结构（或环结构）的类时，在代数中定义了演绎的过程，它与每个群结构（或环结构）群结构相关联（分别为环结构）在其中心上。当Σ\Sigma在域KK上是向量空间结构的类时，以及当Θ\Theta在KK上是代数结构的类时，存在演绎的定义过程，其关联每个向量空间超过KK，其张量代数或其外部代数。稍后我们将在这个级数中遇到许多其他例。 \

注 03VH

当PP是“q元组”(P1,…,Pq)(P_1,\ldots,P_q)时，还可以说项P1,…,PqP_1,\ldots,P_q从类Σ\Sigma的结构构成类Θ\Theta的结构的演绎的过程。

7. 等价种结构

令Σ\Sigma和Θ\Theta为两个结构种，在相同的T\mathscr{T}理论中，具有相同的主体基集合x1,…,xnx_1,\ldots,x_n。令s,ts,t分别为类Σ,Θ\Sigma,\Theta的泛型结构。假设满足以下条件：

(1) We have a procedure of deduction P{x1,…,xn,s}P\{x_1,\ldots,x_n,s\} of a structure of species Θ\Theta on x1,…,xnx_1,\ldots,x_n from a structure of species Σ\Sigma on x1,…,xnx_1,\ldots,x_n.

(2) We have a procedure of deduction Q{x1,…,xn,t}Q\{x_1,\ldots,x_n,t\} of a structure of species Σ\Sigma on x1,…,xnx_1,\ldots,x_n from a structure of species Θ\Theta on x1,…,xnx_1,\ldots,x_n.

(3) 关系 Q{x1,…,xn,P{x1,…,xn,s}}=sQ\{x_1,\ldots,x_n,P\{x_1,\ldots,x_n,s\}\}=s 是TΣ\mathscr{T}_{\Sigma} 中的定理，关系 P{x1,…,xn,Q{x1,…,xn,t}}=tP\{x_1,\ldots,x_n,Q\{x_1,\ldots,x_n,t\}\}=t 是TΘ\mathscr{T}_{\Theta} 中的定理。

通过演绎PP和QQ的过程，结构种Σ\Sigma和Θ\Theta就被认为是等价的。在这种情况下，对于理论TΣ\mathscr{T}_{\Sigma}中的每个定理B{x1,…,xn,s}B\{x_1,\ldots,x_n,s\}，关系B{x1,…,xn,Q}B\{x_1,\ldots,x_n,Q\}在TΘ\mathscr{T}_{\Theta}中都是定理；相反，对于理论TΘ\mathscr{T}_{\Theta}中的每个定理C{x1,…,xn,t}C\{x_1,\ldots,x_n,t\}，关系C{x1,…,xn,P}C\{x_1,\ldots,x_n,P\}在TΣ\mathscr{T}_{\Sigma}中是定理。

☡

如果UU是类Σ\Sigma的结构，则通过过程PP从UU推导出结构相当于UU。标准 CST6 意味着以下内容：

CST7。 令 S,S′\mathscr{S},\mathscr{S}' 分别为基集合 (E1,…,En),(E1′,…,En′)(E_1,\ldots,E_n),(E'_1,\ldots,E'_n) 上类 Σ\Sigma 的两个结构。设S0,S0′\mathscr{S}_0,\mathscr{S}'_0为类Θ\Theta中的结构，分别相当于S\mathscr{S}和S′\mathscr{S}'。在序中，(g1,…,gn)(g_1,\ldots,g_n)相对于结构S0\mathscr{S}_0和S0′\mathscr{S}'_0应该是同构，(g1,…,gn)(g_1,\ldots,g_n)相对于结构S\mathscr{S}应该是同构是必要且充分的，并且S′\mathscr{S}'.

在实践中，我们对结构的两个等价种的理论TΣ\mathscr{T}_{\Sigma}和TΘ\mathscr{T}_{\Theta}没有区别。

例

例 1 03VI

\* 令 Σ\Sigma 为可交换的群结构的类； Σ\Sigma有一个（主）基集合AA，其通用结构由单个字母FF组成； Σ\Sigma的典型刻画是F∈P((A×A)×A)F\in\mathfrak{P}((A\times A)\times A)，我们用R{A,F}R\{A,F\}表示Σ\Sigma的公理。该公理特别意味着FF是函数的图（群的“合成的律”；cf.no. 4，例2）。在理论TΣ\mathscr{T}_{\Sigma}（其中T\mathscr{T}表示集合论）中，我们定义项M{A,F}M\{A,F\}是P((Z×A)×A)\mathfrak{P}((\mathbf{Z}\times A)\times A)中的函数图，并且满足以下关系B{M,A,F}B\{M,A,F\}：

(∀x)(∀y)(∀n)((x∈A and y∈A and n∈Z)⇒(M(n,F(x,y))=F(M(n,x),M(n,y)))) (\forall x)(\forall y)(\forall n)((x\in A\ \text{and}\ y\in A\ \text{and}\ n\in\mathbf{Z}) \Rightarrow (M(n,F(x,y))=F(M(n,x),M(n,y))))

和

(∀x)(∀m)(∀n)((x∈A and m∈Z and n∈Z)⇒(M(m+n,x)=F(M(m,x),M(n,x)))) (\forall x)(\forall m)(\forall n)((x\in A\ \text{and}\ m\in\mathbf{Z}\ \text{and}\ n\in\mathbf{Z}) \Rightarrow (M(m+n,x)=F(M(m,x),M(n,x))))

和

(∀x)(∀m)(∀n)((x∈A and m∈Z and n∈Z)⇒(M(m,M(n,x))=M(mn,x))) (\forall x)(\forall m)(\forall n)((x\in A\ \text{and}\ m\in\mathbf{Z}\ \text{and}\ n\in\mathbf{Z}) \Rightarrow (M(m,M(n,x))=M(mn,x)))

和

(∀x)((x∈A)⇒(M(1,x)=x)). (\forall x)((x\in A)\Rightarrow (M(1,x)=x)).

（“乘法元素 AA 整数”）。

考虑Z\mathbf{Z}模块结构中的类Θ\Theta，它具有单一主体基集合AA，Z\mathbf{Z}作为辅助集合，其泛型结构包含两个字母G，L，典型的刻画

G∈P((A×A)×A)G \in \mathfrak{P}((A \times A) \times A) 和 L∈P((Z×A)×A)L \in \mathfrak{P}((\mathbf{Z} \times A) \times A)

和公理

“R∣A,GR \mid A, G和(L(L是函数图）和B∣L,A,GB \mid L, A, G”。

立即验证，项F、M从类Σ\Sigma结构构成类Θ\Theta结构演绎的过程，项G是结构演绎的过程类Σ\Sigma从结构类Θ\Theta。此外，上面的条件(3)也基本满足。因此，我们可以说可交换的群结构的类和Z\mathbf{Z}模结构的类是等价的。

引用了 1

引用了 例 2

例 2 03VJ

令Σ\Sigma为拓扑结构（no. 4，例3）的类，令AA为（主）基集合，令VV为Σ\Sigma的泛型结构。考虑关系

x∈A and X⊂A and (∀U)((U∈V and x∈U)⇒(X∩U≠∅)).x \in A \text{ and } X \subset A \text{ and } (\forall U)((U \in V \text{ and } x \in U) \Rightarrow (X \cap U \neq \varnothing)).

这个关系有一个关于对(X,x)(X, x)的图P⊂P(A)×AP \subset \mathfrak{P}(A) \times A； P∣A,VP \mid A, V 被项称为“所有对 (X,x)(X, x) 的集合，使得 xx 位于 XX 相对于拓扑 VV 的闭包”。然后我们可以证明（cf.一般拓扑，章I, § 1）以下关系是TΣ\mathscr{T}_{\Sigma}中的定理：

P(∅)=∅,P(\varnothing)=\varnothing,
(∀Y)((Y⊂A)⇒(∀Y⊂P(Y))),(\forall Y)((Y \subset A) \Rightarrow (\forall Y \subset P(Y))),
(∀Y)((Y⊂A)⇒(P(P(Y))=P(Y))),(\forall Y)((Y \subset A) \Rightarrow (P(P(Y))=P(Y))),
(∀Y)(∀Z)((Y⊂A and Z⊂A)⇒(P(Y∪Z)=P(Y)∪P(Z))).(\forall Y)(\forall Z)((Y \subset A \text{ and } Z \subset A) \Rightarrow (P(Y \cup Z)=P(Y)\cup P(Z))).

考虑结构种Θ\Theta，有一个（主要）基集合AA，其泛型结构由单个字母WW组成，它具有典型的刻画W∈P(P(A)×A)W \in \mathfrak{P}(\mathfrak{P}(A) \times A)和公理

W(∅)=∅ and (∀Y)((Y⊂A)⇒(Y⊂W(Y)))W(\varnothing)=\varnothing \text{ and } (\forall Y)((Y \subset A) \Rightarrow (Y \subset W(Y)))

和

(∀Y)((Y⊂A)⇒(W(W(Y))=W(Y)))(\forall Y)((Y \subset A) \Rightarrow (W(W(Y))=W(Y)))

和

(∀Y)(∀Z)((Y⊂A and Z⊂A)⇒(W(Y∪Z)=W(Y)∪W(Z))).(\forall Y)(\forall Z)((Y \subset A \text{ and } Z \subset A) \Rightarrow (W(Y \cup Z)=W(Y)\cup W(Z))).

还要考虑关系

U⊂A and (∀x)((x∈U)⇒x∉W(A−U)).U \subset A \text{ and } (\forall x)((x \in U) \Rightarrow x \notin W(A-U)).

所有U∈P(A)U \in \mathfrak{P}(A)中的集合，其中满足这个关系是P(A)\mathfrak{P}(A)中的子集Q∣A,WQ \mid A, W。然后我们可以证明（一般拓扑，章I, § 1，习题10）以下关系是TΘ\mathscr{T}_{\Theta}中的定理：

A∈Q,A \in Q,
(∀M)((M⊂Q)⇒((⋃X∈MX)∈Q)),(\forall M)((M \subset Q) \Rightarrow ((\bigcup_{X \in M} X) \in Q)),
(∀X)(∀Y)((X∈Q and Y∈Q)⇒((X∩Y)∈Q)).(\forall X)(\forall Y)((X \in Q \text{ and } Y \in Q) \Rightarrow ((X \cap Y) \in Q)).

因此，项P{A,V}P\{A,V\}和Q{A,W}Q\{A,W\}满足条件（1）和（2），并且很容易看出它们也是满足条件（3）。因此，结构种Σ\Sigma和Θ\Theta是等价的，因此我们将类Θ\Theta中的每个结构视为拓扑，即按照演绎Q{A,W}Q\{A,W\}的程序将对应加到拓扑。 \

引用了 2

引用了 例 3, TG I § 1. 营业集合、邻域、休息集合

习题

参见习题为 § 1。

[^1]: We use the notion of integer in the same manner as in Chapter I, that is to say, in the metamathematical sense of marks arranged in a certain order; this use has nothing to do with the mathematical theory of integers which was developed in Chapter III. [^2]: For typographical reasons we write here f−1f^{-1} instead of f−1\overset{-1}{f}.

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