Bourbaki

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2. 有序对

1. 有序对的公理

正如我们在§1, no. 1中所说，符号⊃\supset是集合论中权2的实数符号。如果T，U是项，则⊃\supsetTU是项，实际上用(T, U)表示。在这个记号中，有序对*的*公理如下：

A3。 (∀x)(∀x′)(∀y)(∀y′)(((x,y)=(x′,y′))⇒(x=x′andy=y′))(\forall x)(\forall x')(\forall y)(\forall y')(((x, y) = (x', y')) \Rightarrow (x = x' \quad \text{and} \quad y = y'))。

由于关系“x=x′x = x'和y=y′y = y'”通过C44暗示(x,y)=(x′,y′)(x, y) = (x', y')（章I, § 5, no. 2），关系(x,y)=(x′,y′)(x, y) = (x', y')“等价”于“x=x′x = x'和y=y′y = y'”。

¶ 关系 (∃x)(∃y)(z=(x,y))(\exists x)(\exists y)(z=(x,y)) 写作“zz 是 有序对”。如果zz是有序对，关系

(∃y)(z=(x,y)),(∃x)(z=(x,y)) (\exists y)(z=(x,y)),\qquad(\exists x)(z=(x,y))

分别对xx和yy起作用；这是A3的直接的推论。 项

τx((∃y)(z=(x,y)))andτy((∃x)(z=(x,y))) \tau_x((\exists y)(z=(x,y)))\qquad\text{and}\qquad\tau_y((\exists x)(z=(x,y)))

分别用pr⁡1z\operatorname{pr}_1z和pr⁡2z\operatorname{pr}_2z表示，称为zz的*第一坐标*（或*第一投影*）和*第二坐标*（或*第二投影*）。如果 zz 为有序对，则关系 (∃y)(z=(x,y))(\exists y)(z=(x,y)) 相当于 x=pr⁡1zx=\operatorname{pr}_1z，关系 (∃x)(z=(x,y))(\exists x)(z=(x,y)) 相当于 y=pr⁡2zy=\operatorname{pr}_2z (章 I, §5, no. 3)。

¶ 关系 z=(x,y)z=(x,y) 相当于“zz 是有序对，以及 x=pr⁡1zx=\operatorname{pr}_1z 和 y=pr⁡2zy=\operatorname{pr}_2z”；对于后者关系相当于

(∃x′)(∃y′)(∃x′′)(∃y′′)(z=(x′,y′) and z=(x,y′′) and z=(x′′,y)); (\exists x')(\exists y')(\exists x'')(\exists y'')(z=(x',y')\text{ and }z=(x,y'')\text{ and }z=(x'',y));

由A3可知，“z=(x′,y′)z=(x',y')和z=(x,y′′)z=(x,y'')和z=(x′′,y)z=(x'',y)”相当于“z=(x,y)z=(x,y)和x=x′x=x'和x=x′′x=x''和y=y′y=y'和y=y′′y=y''”；因此，通过 C33 (章 I, §4, no. 3)，“zz 是有序对，并且 x=pr⁡1zx=\operatorname{pr}_1z 和 y=pr⁡2zy=\operatorname{pr}_2z”相当于

z=(x,y) and (∃x′)(∃y′)(∃x′′)(∃y′′)(x=x′ and x=x′′ and y=y′ and y=y′′), z=(x,y)\text{ and }(\exists x')(\exists y')(\exists x'')(\exists y'')(x=x'\text{ and }x=x''\text{ and }y=y'\text{ and }y=y''),

这证明了我们的断言。显然我们有

pr⁡1(x,y)=x,pr⁡2(x,y)=y, \operatorname{pr}_1(x,y)=x,\qquad \operatorname{pr}_2(x,y)=y,

关系 z=(pr⁡1(z),pr⁡2(z))z=(\operatorname{pr}_1(z),\operatorname{pr}_2(z)) 相当于“zz 有序对”。

¶ 令 R{x,y}R\{x,y\} 为关系，其中字母 xx 和 yy 不同，并且出现在 RR 中。令zz为一个字母，与xx和yy不同，RR中没有出现。让S{z}S\{z\}表示关系

(∃x)(∃y)(z=(x,y) and R{x,y}); (\exists x)(\exists y)(z=(x,y)\text{ and }R\{x,y\});

这是关系，其中包含比RR少一个字母，并且*等于*“zz是有序对和R{pr⁡1z,pr⁡2z}R\{\operatorname{pr}_1z,\operatorname{pr}_2z\}”，这是因为z=(x,y)z=(x,y)相当于“zz是有序对和x=pr⁡1zx=\operatorname{pr}_1z”， y=pr⁡2zy=\operatorname{pr}_2z”，以及判据 C33 (章 I, §4, no. 3) 和 C47 (章 I, §5, no. 3)。紧接着 R{x,y}R\{x, y\} 等价于 S{(x,y)}S\{(x, y)\}，并且也等价于

(∃z)(z=(x,y) and S{z})(\exists z)(z = (x, y) \text{ and } S\{z\})

由C47。

这意味着我们可以将对象、xx和yy之间的关系解释为由这些对象组成的有序对的性质。

2. 两个集合的积

定理 1 03PC

关系

引用了 2

引用了 II § 1. 集合化关系, I § 4. 量化理论

(∀X)(∀Y)(∃Z)(∀z)((z∈Z)⇔(∃x)(∃y)(z=(x,y) and x∈X and y∈Y)(\forall X)(\forall Y)(\exists Z)(\forall z)((z \in Z) \Leftrightarrow (\exists x)(\exists y)(z = (x, y) \text{ and } x \in X \text{ and } y \in Y)

是真的。在其他字中，对于所有X*和所有*Y*关系*“zz*是有序对和*pr1z∈X\mathrm{pr}_1 z \in X*和*pr2z∈Y\mathrm{pr}_2 z \in Y”*是集合化在*zz。

令AyA_y表示x∈Xx \in X的形式(x,y)(x, y)的所有对象中的集合（cf.§1, no. 6，标准C53）。令R为关系z∈Ayz \in A_y，相当于(∃x)(z=(x,y)(\exists x)(z = (x, y)和x∈X)x \in X)。很明显关系

(∀y)(∃A)(∀z)(R⇒(z∈A))(\forall y)(\exists A)(\forall z)(R \Rightarrow (z \in A))

根据 S5 (章 I, §4, no. 2)，这是正确的。然后从S8得出关系(∃y)(y∈Y(\exists y)(y \in Y并且R))是zz中的集合化。但这个关系相当于(∃x)(∃y)(y∈Y(\exists x)(\exists y)(y \in Y和x∈Xx \in X和z=(x,y))z = (x, y))；因此结果。

定义 1 03PD

给定两个集合* X 和 Y，*集合

Ez((∃x)(∃y)(z=(x,y) and x∈X and y∈Y))\mathscr{E}_z((\exists x)(\exists y)(z = (x, y) \text{ and } x \in X \text{ and } y \in Y))

称为 X 和 Y 的乘积，并表示为 X ×\times Y。

因此，关系z∈X×Yz \in X \times Y相当于“zz是有序对和pr1z∈X\mathrm{pr}_1 z \in X和pr2z∈Y\mathrm{pr}_2 z \in Y”。 集合X和Y被称为X×\timesY的*第一个*和*第二个因子*。

命题 1 03PE

如果* A′'、B′' 为非空集合，关系 A′×' \times B′⊂' \subset A ×\times B 等价于“A′⊂' \subset A 和 B′⊂' \subset B”。

首先，关系z∈A′×B′z \in A' \times B'相当于“zz是有序对和pr1z∈A′\mathrm{pr}_1 z \in A'和pr2z∈B′\mathrm{pr}_2 z \in B'”；因此，在 A′' 和 B′' 上没有任何限制，关系“A′⊂' \subset A 和 B′⊂' \subset B”意味着

A′×B′⊂A×B.A' \times B' \subset A \times B.

相反，让我们首先证明，如果B′≠∅B' \neq \emptyset（A′A'上没有限制），关系A′×B′⊂A×BA' \times B' \subset A \times B意味着A′⊂AA' \subset A。设xx为A′A'的元素；从B′≠∅B' \neq \emptyset开始，有一个对象yy，它是B′B'的元素；我们有(x,y)∈A′×B′(x, y) \in A' \times B'，因此有(x,y)∈A×B(x, y) \in A \times B，因此有x∈Ax \in A；因而A′⊂AA' \subset A。类似地，如果A′≠∅A' \neq \emptyset，关系A′×B′⊂A×BA' \times B' \subset A \times B意味着B′⊂BB' \subset B。于是就有了这样的结果。

命题 2 03PF

设*A*和*B*为两个集合。 关系* A×B=∅A \times B = \emptyset 相当于“A=∅A = \emptyset 或B=∅B = \emptyset”。

被以下引用 1

被以下引用 命题 1, II § 3

对于关系z∈A×Bz \in A \times B意味着pr1z∈A\mathrm{pr}_1 z \in A和pr2z∈B\mathrm{pr}_2 z \in B；因而A≠∅A \neq \emptyset和B≠∅B \neq \emptyset。相反，关系“x∈Ax \in A和y∈By \in B”意味着(x,y)∈A×B(x, y) \in A \times B，因此意味着A×B≠∅A \times B \neq \emptyset。在其他字、关系、A×B≠∅A \times B \neq \emptyset等价于“A≠∅A \neq \emptyset和B≠∅B \neq \emptyset”；因此结果。

如果 A, B, C 是集合，我们写

(A×B)×C=A×B×C;(A \times B) \times C = A \times B \times C;

A×B×CA \times B \times C的元素((x,y),z)((x, y), z)写作(x,y,z)(x, y, z)，称为*三重*。同样，如果 A，B，C，D 是集合，我们写

(A×B×C)×D=A×B×C×D;(A \times B \times C) \times D = A \times B \times C \times D;

等等。

习题

参见习题为 § 2。

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