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1. 序关系。 有序集
1. 定义序关系
令R { x , y } R\{x, y\} R { x , y } x x x y y y x 和 y 之间），R 被称为 *序关系，如果
( R { x , y } and R { y , z } ) ⇒ R { x , z } , (R\{x,\, y\} \ \text{ and } \ R\{\, y,\, z\}) \Rightarrow R\{x,\, z\}, ( R { x , y } and R { y , z }) ⇒ R { x , z } , ( R { x , y } and R { y , x } ) ⇒ ( x = y ) , (R\{x,\, y\} \ \text{ and } \ R\{\, y,\, x\}) \Rightarrow (x = y), ( R { x , y } and R { y , x }) ⇒ ( x = y ) , R { x , y } ⇒ ( R { x , x } and R { y , y } ) . R\{x, y\} \Rightarrow (R\{x,\, x\} \ \text{ and } \ R\{\, y,\, y\}). R { x , y } ⇒ ( R { x , x } and R { y , y }) . 上面的第一个关系表示R对于字母x x x y y y
例
(1) 等式*的*关系，x = y x = y x = y
(2) 关系X ⊂ Y X \subset Y X ⊂ Y
(3) 令R { x , y } R\{x, y\} R { x , y } x x x y y y R { y , x } R\{\, y,\, x\} R { y , x } 位于 x 和 y 之间，称为序关系 R { x , y } R\{x,\, y\} R { x , y }
集合* E 上的 *序关系对于两个不同的字母 x x x y y y R { x , y } R\{x,\, y\} R { x , y } R { x , x } R\{x,\, x\} R { x , x } 等于 x ∈ E x \in E x ∈ E R { x , y } R\{x,\, y\} R { x , y } R { x , y } R\{x,\, y\} R { x , y } x ∈ E x \in E x ∈ E y ∈ E y \in E y ∈ E ( R { x , y } (R\{x,\, y\} ( R { x , y } R { y , x } ) R\{\, y,\, x\}) R { y , x }) x ∈ E x \in E x ∈ E y ∈ E y \in E y ∈ E x = y x = y x = y
例
等式的关系以及包含在集合上不是序关系，因为关系 x = x x = x x = x X ⊂ X \mathrm{X} \subset \mathrm{X} X ⊂ X
引用了 1 引用了 II § 1. 集合化关系
令R } x , y { \mathrm{R}\}x,\ y\{ R } x , y { x x x y y y x ∈ E x \in \mathrm{E} x ∈ E R } x , x { \mathrm{R}\}x,\ x\{ R } x , x { R } x , y { \mathrm{R}\}x,\ y\{ R } x , y { x ∈ E x \in \mathrm{E} x ∈ E y ∈ E y \in \mathrm{E} y ∈ E R } x , y { \mathrm{R}\}x,y\{ R } x , y { 诱发 称为序关系。通过滥用语言，短语“E 的元素之间的关系 S } x , y { \mathrm{S}\}x,\ y\{ S } x , y { S } x , y { \mathrm{S}\}x,\ y\{ S } x , y { x ∈ E x \in \mathrm{E} x ∈ E y ∈ E y \in \mathrm{E} y ∈ E X ⊂ Y \mathrm{X} \subset \mathrm{Y} X ⊂ Y X ⊂ A \mathrm{X} \subset \mathrm{A} X ⊂ A Y ⊂ A \mathrm{Y} \subset \mathrm{A} Y ⊂ A
设E、F为集合。 关系“g 扩展 f ”是 E 的子集映射集合到 F 上的序关系（f f f g g g
被以下引用 3 被以下引用 定义 6 , 例 1 , 例 2
在集合E子集集合集合P ( P ( E ) ) \mathfrak{P}(\mathfrak{P}(\mathrm{E})) P ( P ( E )) P \mathscr{P} P Y ∈ ϖ ′ \mathrm{Y} \in \varpi' Y ∈ ϖ ′ X ∈ ϖ \mathrm{X} \in \varpi X ∈ ϖ Y ⊂ X \mathrm{Y} \subset \mathrm{X} Y ⊂ X ϖ \varpi ϖ ϖ ′ \varpi' ϖ ′ ϖ \varpi ϖ ϖ ~ \tilde{\varpi} ϖ ~ ϖ \varpi ϖ A × A \mathrm{A} \times \mathrm{A} A × A ϖ \varpi ϖ ϖ \varpi ϖ ϖ ′ \varpi' ϖ ′ ϖ ~ ⊃ ϖ ~ ′ \tilde{\varpi} \supset \tilde{\varpi}' ϖ ~ ⊃ ϖ ~ ′ P \mathscr{P} P ϖ \varpi ϖ ϖ ′ \varpi' ϖ ′
集合 E 上的*排序*是对应 Γ = ( G , E , E ) \Gamma = (\mathrm{G},\ \mathrm{E},\ \mathrm{E}) Γ = ( G , E , E ) ( x , y ) ∈ G (x,\ y) \in \mathrm{G} ( x , y ) ∈ G Γ \Gamma Γ R } x , y { \mathrm{R}\}x,\ y\{ R } x , y {
引用了 2 · 被以下引用 2 引用了 II § 4. 集合家庭的并和交 , II § 6. 等价关系
被以下引用 习题 18, § 1 , 例 2
对应* Γ \Gamma Γ 在 E 和 E 之间是对 E 的排序当且仅当其图 G *满足以下条件 :
（一）G ∘ G = G \mathrm{G} \circ \mathrm{G} = \mathrm{G} G ∘ G = G
(b) 集合 G ∩ G − 1 \mathrm{G} \cap \overset{-1}{\mathrm{G}} G ∩ G − 1 是 E × E \mathrm{E} \times \mathrm{E} E × E Δ \Delta Δ
对于关系 ( ( x , y ) ∈ G ((x,\ y) \in \mathrm{G} (( x , y ) ∈ G ( y , z ) ∈ G ) ⇒ ( ( x , z ) ∈ G ) (y,\ z) \in \mathrm{G}) \Rightarrow ((x,\ z) \in \mathrm{G}) ( y , z ) ∈ G ) ⇒ (( x , z ) ∈ G ) G ∘ G ⊂ G \mathrm{G} \circ \mathrm{G} \subset \mathrm{G} G ∘ G ⊂ G
( ( x , y ) ∈ G and ( y , x ) ∈ G ) ⇔ ( x = y and x ∈ E and y ∈ E ) ((x,\ y) \in \mathrm{G} \text{ and } (y,\ x) \in \mathrm{G}) \Leftrightarrow (x = y \text{ and } x \in \mathrm{E} \text{ and } y \in \mathrm{E}) (( x , y ) ∈ G and ( y , x ) ∈ G ) ⇔ ( x = y and x ∈ E and y ∈ E ) 可以写成G ∩ G − 1 = Δ \mathrm{G} \cap \overset{-1}{\mathrm{G}} = \Delta G ∩ G − 1 = Δ G ∩ G − 1 = Δ \mathrm{G} \cap \overset{-1}{\mathrm{G}} = \Delta G ∩ G − 1 = Δ Δ ⊂ G \Delta \subset \mathrm{G} Δ ⊂ G G = Δ ∘ G ⊂ G ∘ G \mathrm{G} = \Delta \circ \mathrm{G} \subset \mathrm{G} \circ \mathrm{G} G = Δ ∘ G ⊂ G ∘ G G ∘ G ⊂ G \mathrm{G} \circ \mathrm{G} \subset \mathrm{G} G ∘ G ⊂ G
G ∘ G = G . \mathrm{G} \circ \mathrm{G} = \mathrm{G}. G ∘ G = G .
2. 预序关系
令R { x , y } R\{x, y\} R { x , y } x x x y y y R R R R { x , y } ⇒ ( R { x , x } R\{x, y\} \Rightarrow (R\{x, x\} R { x , y } ⇒ ( R { x , x } R { y , y } ) R\{y, y\}) R { y , y }) R R R
( R { x , y } and R { y , x } ) (R\{x, y\} \text{ and } R\{y, x\}) ( R { x , y } and R { y , x }) 并不一定意味着x = y x = y x = y R { x , y } R\{x, y\} R { x , y } x x x y y y R { y , x } R\{y, x\} R { y , x } x x x y y y R { x , y } R\{x, y\} R { x , y }
对于例，令R \mathfrak{R} R P ( E ) \mathfrak{P}(E) P ( E ) R \mathfrak{R} R R ′ \mathfrak{R}' R ′ R \mathfrak{R} R R \mathfrak{R} R R ′ \mathfrak{R}' R ′ R ′ \mathfrak{R}' R ′ R \mathfrak{R} R P ( E ) \mathfrak{P}(E) P ( E ) R \mathfrak{R} R R \mathfrak{R} R
但无论如何，关系( R { x , y } (R\{x, y\} ( R { x , y } R { y , x } ) R\{y, x\}) R { y , x }) x x x y y y S { x , y } S\{x, y\} S { x , y } x ′ x' x ′ y ′ y' y ′ x x x y y y R { x , y } R\{x, y\} R { x , y } S { x , x ′ } S\{x, x'\} S { x , x ′ } 相容的 （相对于 x x x y y y S { y , y ′ } S\{y, y'\} S { y , y ′ }
( R { x , y } and S { x , x ′ } and S { y , y ′ } ) (R\{x, y\} \text{ and } S\{x, x'\} \text{ and } S\{y, y'\}) ( R { x , y } and S { x , x ′ } and S { y , y ′ }) 意味着R { x ′ , y ′ } R\{x', y'\} R { x ′ , y ′ }
¶ A 预序关系在集合 E 上是预序关系 R { x , y } R\{x, y\} R { x , y } R { x , x } R\{x, x\} R { x , x } x ∈ E x \in E x ∈ E R { x , y } R\{x, y\} R { x , y } x ∈ E x \in E x ∈ E y ∈ E y \in E y ∈ E
¶ 如果R { x , y } R\{x, y\} R { x , y } S { x , y } S\{x, y\} S { x , y } R ′ { X , Y } R'\{X, Y\} R ′ { X , Y }
X ∈ E / S and Y ∈ E / S and ( ∃ x ) ( ∃ y ) ( x ∈ X and y ∈ Y and R { x , y } ) , X \in E/S \text{ and } Y \in E/S \text{ and } (\exists x)(\exists y)(x \in X \text{ and } y \in Y \text{ and } R\{x, y\}), X ∈ E / S and Y ∈ E / S and ( ∃ x ) ( ∃ y ) ( x ∈ X and y ∈ Y and R { x , y }) , 也就是说，关系由R在经过上导出商（相对于x x x y y y
X ∈ E / S and Y ∈ E / S and ( ∀ x ) ( ∀ y ) ( ( x ∈ X and y ∈ Y ) ⇒ R { x , y } ) . X \in E/S \text{ and } Y \in E/S \text{ and } (\forall x)(\forall y)((x \in X \text{ and } y \in Y) \Rightarrow R\{x, y\}). X ∈ E / S and Y ∈ E / S and ( ∀ x ) ( ∀ y ) (( x ∈ X and y ∈ Y ) ⇒ R { x , y }) . ¶ 让我们证明 R ′ { X , Y } R'\{X, Y\} R ′ { X , Y } 序关系 。 关系 ( R ′ { X , Y } (R'\{X, Y\} ( R ′ { X , Y } R ′ { Y , Z } ) R'\{Y, Z\}) R ′ { Y , Z })
X ∈ E / S and Y ∈ E / S and Z ∈ E / S and X \in E/S \text{ and } Y \in E/S \text{ and } Z \in E/S \text{ and } X ∈ E / S and Y ∈ E / S and Z ∈ E / S and ( ∀ x ) ( ∀ y ) ( ∀ z ) ( ( x ∈ X and y ∈ Y and z ∈ Z ) ⇒ ( R { x , y } and R { y , z } ) ) (\forall x)(\forall y)(\forall z)((x \in X \text{ and } y \in Y \text{ and } z \in Z) \Rightarrow (R\{x, y\} \text{ and } R\{y, z\})) ( ∀ x ) ( ∀ y ) ( ∀ z ) (( x ∈ X and y ∈ Y and z ∈ Z ) ⇒ ( R { x , y } and R { y , z })) （章I, § 4、判据C40、C41）。由于 R { x , y } R\{x, y\} R { x , y } Y ∈ E / S ⇒ Y ≠ ∅ Y \in E/S \Rightarrow Y \neq \emptyset Y ∈ E / S ⇒ Y = ∅ R ′ { X , Y } R'\{X, Y\} R ′ { X , Y } ( R ′ { X , Y } (R'\{X, Y\} ( R ′ { X , Y } R ′ { Y , X } ) R'\{Y, X\}) R ′ { Y , X })
X ∈ E / S and Y ∈ E / S and X \in E/S \text{ and } Y \in E/S \text{ and } X ∈ E / S and Y ∈ E / S and ( ∀ x ) ( ∀ y ) ( ( x ∈ X and y ∈ Y ) ⇒ ( R { x , y } and R { y , x } ) ) , (\forall x)(\forall y) \ ((x \in X \text{ and } y \in Y) \Rightarrow (R\{x, y\} \text{ and } R\{y, x\})), ( ∀ x ) ( ∀ y ) (( x ∈ X and y ∈ Y ) ⇒ ( R { x , y } and R { y , x })) , 因此相当于
X ∈ E / S and Y ∈ E / S and ( ∀ x ) ( ∀ y ) ( ( x ∈ X and y ∈ Y ) ⇒ S { x , y } ) , X \in E/S \text{ and } Y \in E/S \text{ and } (\forall x)(\forall y)((x \in X \text{ and } y \in Y) \Rightarrow S\{x, y\}), X ∈ E / S and Y ∈ E / S and ( ∀ x ) ( ∀ y ) (( x ∈ X and y ∈ Y ) ⇒ S { x , y }) , 因此意味着
X ∈ E / S and Y ∈ E / S and X = Y . X \in E/S \quad \text{and} \quad Y \in E/S \quad \text{and} \quad X = Y. X ∈ E / S and Y ∈ E / S and X = Y . 此外，R { x , y } R\{x, y\} R { x , y } R { x , x } R\{x, x\} R { x , x } R { y , y } R\{y, y\} R { y , y } R ′ { X , Y } R'\{X, Y\} R ′ { X , Y }
X ∈ E / S and ( ∀ x ) ( ( x ∈ X ) ⇒ R { x , x } ) , X \in E/S \text{ and } (\forall x)((x \in X) \Rightarrow R\{x, x\}), X ∈ E / S and ( ∀ x ) (( x ∈ X ) ⇒ R { x , x }) , Y ∈ E / S and ( ∀ y ) ( ( y ∈ Y ) ⇒ R { y , y } ) , Y \in E/S \text{ and } (\forall y)((y \in Y) \Rightarrow R\{y, y\}), Y ∈ E / S and ( ∀ y ) (( y ∈ Y ) ⇒ R { y , y }) , 从而R ′ { X , Y } R'\{X, Y\} R ′ { X , Y } ( R ′ { X , X } (R'\{X, X\} ( R ′ { X , X } R ′ { Y , Y } ) R'\{Y, Y\}) R ′ { Y , Y }) x ∈ E x \in E x ∈ E R { x , x } R\{x, x\} R { x , x } X ∈ E / S X \in E/S X ∈ E / S R ′ { X , X } R'\{X, X\} R ′ { X , X } R ′ { X , Y } R'\{X, Y\} R ′ { X , Y } R { x , y } R\{x, y\} R { x , y }
¶ 集合 E 上的 预排序 是对应 Γ = ( G , E , E ) \Gamma = (G, E, E) Γ = ( G , E , E ) ( x , y ) ∈ G (x, y) \in G ( x , y ) ∈ G Γ \Gamma Γ Δ ⊂ G \Delta \subset G Δ ⊂ G G ∘ G ⊂ G G \circ G \subset G G ∘ G ⊂ G G ∘ G = G G \circ G = G G ∘ G = G ( x , y ) ∈ G (x, y) \in G ( x , y ) ∈ G G ∩ G − 1 G \cap \overset{-1}{G} G ∩ G − 1 ( x , y ) ∈ G (x, y) \in G ( x , y ) ∈ G ( E / S ) × ( E / S ) (E/S) \times (E/S) ( E / S ) × ( E / S ) E × E E \times E E × E
( E × E ) / ( S × S ) . (E \times E)/(S \times S). ( E × E ) / ( S × S ) .
\* 令 A 为环和单位元素。两个元素x x x ( ∃ z ) ( z ∈ A (\exists z)(z \in \mathrm{A} ( ∃ z ) ( z ∈ A y = z x ) y = zx) y = z x ) y y y x x x y y y y y y x x x
3. 记号与术语
截面其余部分给出的定义适用于x x x y y y R { x , y } \mathrm{R}\{x, y\} R { x , y } R { x , y } \mathrm{R}\{x, y\} R { x , y } x ⩽ y x \leqslant y x ⩽ y x ⊂ y x \subset y x ⊂ y x ⩽ y x \leqslant y x ⩽ y R { x , y } \mathrm{R}\{x, y\} R { x , y } x ⩽ y x \leqslant y x ⩽ y y ⩾ x y \geqslant x y ⩾ x x ⩽ y x \leqslant y x ⩽ y x x x y y y x x x y y y y y y x x x y y y x x x x ⩾ y x \geqslant y x ⩾ y x x x y y y x ⩽ y x \leqslant y x ⩽ y
由于语言滥用，我们经常会说“the 关系 ⩽ \leqslant ⩽ x ⩽ y x \leqslant y x ⩽ y ⩾ \geqslant ⩾ ⩽ \leqslant ⩽ ⩽ \leqslant ⩽
将关系的条件写成x ⩽ y x \leqslant y x ⩽ y
(ROI _{\mathrm{I}} I 关系“x ⩽ y x \leqslant y x ⩽ y y ⩽ z y \leqslant z y ⩽ z x ⩽ z x \leqslant z x ⩽ z (ROI I _{\mathrm{II}} II 关系“x ⩽ y x \leqslant y x ⩽ y y ⩽ x y \leqslant x y ⩽ x x = y x = y x = y (ROI I I _{\mathrm{III}} III 关系 x ⩽ y x \leqslant y x ⩽ y x ⩽ x x \leqslant x x ⩽ x y ⩽ y y \leqslant y y ⩽ y (ROI V _{\mathrm{IV}} IV 关系 x ⩽ x x \leqslant x x ⩽ x x ∈ E x \in \mathrm{E} x ∈ E
如果我们省略条件 (ROI I _{\mathrm{II}} II x ⩽ y x \leqslant y x ⩽ y x ⩽ y x \leqslant y x ⩽ y x < y x < y x < y y > x y > x y > x x ⩽ y x \leqslant y x ⩽ y x ≠ y x \neq y x = y x x x y y y x x x y y y y y y x x x y y y x x x
包含关系的例表明x ⩽ y x \leqslant y x ⩽ y x ≰ y x \nleqslant y x y y < x y < x y < x
C58。 令⩽ \leqslant ⩽ x x x y y y x ⩽ y x \leqslant y x ⩽ y x < y x < y x < y x = y x = y x = y x ⩽ y x \leqslant y x ⩽ y y < z y < z y < z x < y x < y x < y y ⩽ z y \leqslant z y ⩽ z x < z x < z x < z
第一个断言源自标准A ⇒ ( ( A A \Rightarrow ((A A ⇒ (( A B B B B B B x ⩽ z x \leqslant z x ⩽ z x = z x = z x = z x ⩽ y x \leqslant y x ⩽ y y ⩽ z y \leqslant z y ⩽ z x = y = z x = y = z x = y = z
¶ 在序中，为了让事情变得更容易，并通过数学定理来实现替换元数学判据，我们通常会考虑一个理论T \mathscr{T} T Γ \Gamma Γ
“Γ \Gamma Γ
我们用x ⩽ y x \leqslant y x ⩽ y y ∈ Γ ⟨ x ⟩ y \in \Gamma\langle x \rangle y ∈ Γ ⟨ x ⟩ Γ \Gamma Γ y ∈ Γ ⟨ x ⟩ y \in \Gamma\langle x \rangle y ∈ Γ ⟨ x ⟩
¶ 每当在 T \mathscr{T} T Γ \Gamma Γ Γ \Gamma Γ
在某些情况下（对于下面的定义中的例），我们要考虑的理论会稍微复杂一些。我们将让读者明确这些理论的常数和公理。
令 E、E′ ' ′ Γ \Gamma Γ Γ ′ \Gamma' Γ ′ 到 E′ ' ′ Γ \Gamma Γ Γ ′ \Gamma' Γ ′ f f f ′ ' ′ x ⩽ y x \leqslant y x ⩽ y f ( x ) ⩽ f ( y ) f(x) \leqslant f(y) f ( x ) ⩽ f ( y )
4. 有序子集。 乘积有序集
设 E 是按排序 Γ \Gamma Γ G ∩ ( A × A ) G \cap (A \times A) G ∩ ( A × A ) x ⩽ y x \leqslant y x ⩽ y x ∈ A x \in A x ∈ A y ∈ A y \in A y ∈ A x ⩽ y x \leqslant y x ⩽ y 扩张 和序关系，它们是诱导。 每当我们将 A 视为有序的集合时，我们都会想到由 E 上的除非在 A 上引发的排序，则明确指出了相反的情况。
例 。由关系X ⊂ Y X \subset Y X ⊂ Y
设E、F为两个集合，并令Φ ( E , F ) \Phi(E, F) Φ ( E , F ) f ∈ Φ ( E , F ) f \in \Phi(E, F) f ∈ Φ ( E , F ) G f G_f G f f f f E × F E \times F E × F f f f g g g Φ ( E , F ) \Phi(E, F) Φ ( E , F ) g 扩展 f ”，则 f → G f f \to G_f f → G f Φ ( E , F ) \Phi(E, F) Φ ( E , F ) P ( E × F ) \mathfrak{P}(E \times F) P ( E × F )
引用了 1 引用了 例 3
对于集合 E 的每个划分 ϖ \varpi ϖ ϖ ~ \tilde{\varpi} ϖ ~ ϖ \varpi ϖ ϖ → ϖ ~ \varpi \to \tilde{\varpi} ϖ → ϖ ~ L \mathfrak{L} L ϖ \varpi ϖ ϖ ′ \varpi' ϖ ′ ϖ \varpi ϖ ϖ ′ \varpi' ϖ ′ P ( E × E ) \mathfrak{P}(E \times E) P ( E × E )
引用了 1 引用了 例 4
设 E 为集合，Ω ⊂ P ( E × E ) \Omega \subset \mathfrak{P}(E \times E) Ω ⊂ P ( E × E ) s s s t t t s ⊂ t s \subset t s ⊂ t Ω \Omega Ω P ( E × E ) \mathfrak{P}(E \times E) P ( E × E ) s s s t t t t t t s s s x ( s ) y x(s)y x ( s ) y x ( t ) y x(t)y x ( t ) y ( x , y ) ∈ s (x, y) \in s ( x , y ) ∈ s ( x , y ) ∈ t (x, y) \in t ( x , y ) ∈ t s s s t t t x ( s ) y x(s)y x ( s ) y 暗示 x ( t ) y x(t)y x ( t ) y
令( E ι ) ι ∈ I (E_\iota)_{\iota \in I} ( E ι ) ι ∈ I ι ∈ I \iota \in I ι ∈ I Γ ι \Gamma_\iota Γ ι E ι E_\iota E ι G ι ⊂ E ι × E ι G_\iota \subset E_\iota \times E_\iota G ι ⊂ E ι × E ι x ι ⩽ y ι x_\iota \leqslant y_\iota x ι ⩽ y ι ( x ι , y ι ) ∈ G ι (x_\iota, y_\iota) \in G_\iota ( x ι , y ι ) ∈ G ι E ι E_\iota E ι F = ∏ ι ∈ I E ι F = \prod_{\iota \in I} E_\iota F = ∏ ι ∈ I E ι
( ∀ ι ) ( ( ι ∈ I ) ⇒ ( x ι ⩽ y ι ) ) (\forall \iota) \, ((\iota \in I) \Rightarrow (x_\iota \leqslant y_\iota)) ( ∀ ι ) (( ι ∈ I ) ⇒ ( x ι ⩽ y ι )) 经立即验证，序关系介于x = ( x ι ) x = (x_\iota) x = ( x ι ) y = ( y ι ) y = (y_\iota) y = ( y ι ) Γ ι \Gamma_\iota Γ ι 乘积和序关系 x ι ⩽ y ι x_\iota \leqslant y_\iota x ι ⩽ y ι 乘积；这个关系写为x ⩽ y x \leqslant y x ⩽ y Γ ι \Gamma_\iota Γ ι E ι E_\iota E ι
立即验证F上的乘积排序图是乘积集合∏ ι ∈ I G ι \prod_{\iota \in I} G_\iota ∏ ι ∈ I G ι ∏ ι ∈ I ( E ι × E ι ) \prod_{\iota \in I} (E_\iota \times E_\iota) ∏ ι ∈ I ( E ι × E ι ) F × F F \times F F × F
有序集的乘积的一个重要的例是集合 E 的映射图到有序集合 F 的集合 F E F^E F E F E F^E F E F ( E , F ) \mathfrak{F}(E, F) F ( E , F ) F E F^E F E F ( E , F ) \mathfrak{F}(E, F) F ( E , F ) f f f g g g x ∈ E x \in E x ∈ E f ( x ) ⩽ g ( x ) f(x) \leqslant g(x) f ( x ) ⩽ g ( x ) f ⩽ g f \leqslant g f ⩽ g
☡
值得注意的是，在有序的集合 F ( E , F ) \mathfrak{F}(E, F) F ( E , F ) f < g f < g f < g
"for all x ∈ E , f ( x ) ⩽ g ( x ) , and there exists y ∈ E such that f ( y ) < g ( y ) " \text{"for all } x \in E, f(x) \leqslant g(x), \text{ and there exists } y \in E \text{ such that } f(y) < g(y)\text{"} "for all x ∈ E , f ( x ) ⩽ g ( x ) , and there exists y ∈ E such that f ( y ) < g ( y ) " 而不是 "for all x ∈ E , f ( x ) < g ( x ) " . \text{"for all } x \in E, f(x) < g(x)\text{"}. "for all x ∈ E , f ( x ) < g ( x ) " . 在序中，为避免混淆，在这种情况下最好不要使用记号f < g f < g f < g
当“订购”自始至终替换为“预订”时，此小节的定义无需变换就适用于预订的集合。
引用了 1 · 被以下引用 1 引用了 II § 5. 集族的积
被以下引用 例 1, IV § 2
5. 单调递增映射
让*E*和*F*被预先排序集合*（*预序关系，每个都用*⩽ \leqslant ⩽ 到 F *的映射 f 据说是递增 （或*顺序保留*）*如果关系*x ⩽ y x \leqslant y x ⩽ y f ( x ) ⩽ f ( y ) f(x) \leqslant f(y) f ( x ) ⩽ f ( y ) 它是递减 （或*顺序反转*）*如果关系*x ⩽ y x \leqslant y x ⩽ y f ( x ) ⩾ f ( y ) f(x) \geqslant f(y) f ( x ) ⩾ f ( y ) 到 F 的 映射如果是递增或递减，则被认为是单调的。
引用了 1 引用了 习题 7, § 1
当我们通过相反的预排序对 E 或 F 上的替换 一个 预排序时，E 到 F 的递增映射就变成递减（反之亦然）。 每个*常数*函数既是递增又是递减；这个叙述的逆命题通常是不正确的。
对于例，如果集合 E 按等式关系排序，则 E 本身的恒等映射既是递增又是递减，但如果 E 具有多个元素 (cf.)，则不是常数习题7)。
设*E*和*F*为两个有序集。 * E 到 F *的映射 f 据说是严格递增的 （或*严格保序*）*如果关系* x < y x < y x < y 意味着 f ( x ) < f ( y ) f(x) < f(y) f ( x ) < f ( y ) f 据说是严格递减 （或*严格顺序颠倒*）*如果关系* x < y x < y x < y 意味着 f ( x ) > f ( y ) f(x) > f(y) f ( x ) > f ( y ) 的映射到 F *如果是严格递增的或严格递减，则被认为是严格单调的。
例
令 E 为集合。 P ( E ) \mathfrak{P}(E) P ( E ) X → E − X X \rightarrow E - X X → E − X
令 E 为有序集合。对于每个x ∈ E x \in E x ∈ E U x U_x U x y ∈ E y \in E y ∈ E y ⩾ x y \geqslant x y ⩾ x x → U x x \to U_x x → U x P ( E ) \mathfrak{P}(E) P ( E ) x ⩽ y x \leqslant y x ⩽ y U x ⊃ U y U_x \supset U_y U x ⊃ U y
有序集合 E 到有序集合 F 的单射单调映射 严格单调 ； 逆命题通常不为真，因为当关系、x ⩽ y x \leqslant y x ⩽ y x ⩾ y x \geqslant y x ⩾ y f ( x ) = f ( y ) f(x) = f(y) f ( x ) = f ( y )
¶ 有序集合 E 到有序集合 E' 的双射映射 f f f f f f
¶ 如果 I 是 有序 指标集合，则集合 E 的子集* ( X ι ) ι ∈ I (X_\iota)_{\iota \in I} ( X ι ) ι ∈ I 递增 如果 ι → X ι \iota \to X_\iota ι → X ι P ( E ) \mathfrak{P}(E) P ( E ) ι ⩽ ϰ \iota \leqslant \varkappa ι ⩽ ϰ X ι ⊂ X ϰ X_\iota \subset X_\varkappa X ι ⊂ X ϰ ( X ι ) ι ∈ I (X_\iota)_{\iota \in I} ( X ι ) ι ∈ I
引用了 1 引用了 命题 11
让* E，E' 为两个有序集，并让 u : E → E ′ u : E \to E' u : E → E ′ v : E ′ → E v : E' \to E v : E ′ → E x ∈ E x \in E x ∈ E x ′ ∈ E ′ x' \in E' x ′ ∈ E ′ v ( u ( x ) ) ⩾ x v(u(x)) \geqslant x v ( u ( x )) ⩾ x u ( v ( x ′ ) ) ⩾ x ′ u(v(x')) \geqslant x' u ( v ( x ′ )) ⩾ x ′
被以下引用 2 被以下引用 AC VII § 4. 模过度封闭诺特域 , A III § 1. 。 代数
u ∘ v ∘ u = u and v ∘ u ∘ v = v . u \circ v \circ u = u \quad \textit{and} \quad v \circ u \circ v = v. u ∘ v ∘ u = u and v ∘ u ∘ v = v . 对于关系，v ( u ( x ) ) ⩾ x v(u(x)) \geqslant x v ( u ( x )) ⩾ x ( u ( v ( u ( x ) ) ) ⩽ u ( x ) (u(v(u(x))) \leqslant u(x) ( u ( v ( u ( x ))) ⩽ u ( x ) u u u u ( v ( x ′ ) ) ⩾ x ′ u(v(x')) \geqslant x' u ( v ( x ′ )) ⩾ x ′ u ( v ( u ( x ) ) ) ⩾ u ( x ) u(v(u(x))) \geqslant u(x) u ( v ( u ( x ))) ⩾ u ( x ) x ′ x' x ′ u ( x ) u(x) u ( x )
6. 最大和最小元素
令* E 为有序集合。 元素 a ∈ E a \in E a ∈ E 据说是 E 的最小*（或*最大*）*元素 如果关系 x ⩽ a x \leqslant a x ⩽ a x ⩾ a x \geqslant a x ⩾ a x = a x = a x = a
E 的每个最小元素相对于相反的顺序都是极大元素，反之亦然。
例
设 A 为集合。在A的非空子集的P ( A ) \mathfrak{P}(A) P ( A )
E 的子集映射集合 Φ ( E , F ) \Phi(E, F) Φ ( E , F ) u u u v v v v v v u u u
\* 在自然整数 > 1 > 1 > 1 m m m n n n m m m n n n
\* 实数中的集合没有极大元素也没有最小元素。 \
7. 最大元素至少元素
如果有序集合 E 中存在元素 a a a x ∈ E x \in E x ∈ E a ⩽ x a \leqslant x a ⩽ x a a a x ∈ E x \in E x ∈ E b ⩽ x b \leqslant x b ⩽ x a ⩽ b a \leqslant b a ⩽ b b ⩽ a b \leqslant a b ⩽ a a = b a = b a = b
令* E 为有序集合。 元素 a ∈ E a \in E a ∈ E 据说是 E 中*最小（分别为 最大的 ）*元素 如果对于所有 x ∈ E x \in E x ∈ E 我们有 a ⩽ x a \leqslant x a ⩽ x x ⩽ a x \leqslant a x ⩽ a
有序的集合不需要有最大元素，也不需要至少有元素。如果 E 至少具有元素 a a a a a a
¶ 如果 E 具有至少元素 a a a a a a x ∈ E x \in E x ∈ E a a a a < x a < x a < x
例
令 S \mathfrak{S} S P ( E ) \mathfrak{P}(E) P ( E ) S \mathfrak{S} S S \mathfrak{S} S S \mathfrak{S} S S \mathfrak{S} S S \mathfrak{S} S
特别地，∅ \emptyset ∅ P ( E ) \mathfrak{P}(E) P ( E ) Φ ( E , F ) \Phi(E, F) Φ ( E , F ) E × E E \times E E × E Δ \Delta Δ
引用了 1 引用了 例 3
设* E 是一个有序的集合，并让 E′ ' ′ 是 E 和单个元素的不相交的并和集合 { a } \{a\} { a } ′ ' ′ a a a ′ ' ′
引用了 1 · 被以下引用 1 引用了 习题 3, § 1
被以下引用 习题 29, § 6
因为如果 G 是 E 上的排序图，则满足命题的条件的 E′ ' ′ ′ ' ′ ( x , a ) (x, a) ( x , a ) x ∈ E ′ x \in E' x ∈ E ′ ′ ' ′ ′ ' ′
¶ 有序的集合 E′ ' ′ a a a 到 E (cf. 习题 3) 获得的。
¶ 预定的集合 E E E A A A E E E cofinal （或 coinitial ），如果对于每个 x ∈ E x\in E x ∈ E y ∈ A y\in A y ∈ A x ≤ y x\leq y x ≤ y y ≤ x y\leq x y ≤ x E E E E E E
8. Upper and lower bounds
令E E E X X X E E E x ∈ E x\in E x ∈ E y ∈ X y\in X y ∈ X x ≤ y x\leq y x ≤ y x ≥ y x\geq y x ≥ y E E E X X X
就相反顺序而言，X X X X X X
¶ 如果x x x X X X z ≤ x z\leq x z ≤ x X X X X X X X X X X X X X X X X X X
¶ The set of lower bounds of a subset X X X E E E X = E X=E X = E E E E
¶ E E E X X X 下界 （或 上界 ）。上下都有界的子集被称为*有界*。如果 X X X X X X
单个元素的每个子集由……组成都是有界的。但是两个元素中的子集由……组成不需要在上方或下方 (no. 10) 上界。
令E E E f f f A A A E E E f ( A ) f(A) f ( A ) E E E f f f
9. 至少上界和下确界
令E E E X X X E E E E E E E E E X X X E E E X X X
引用了 2 引用了 命题 7, II § 4 , 例 3
给定有序集合E E E X X X E E E X X X
sup E X (resp. inf E X )
\sup_E X\quad\text{(resp. }\inf_E X\text{)}
E sup X (resp. E inf X ) 或者通过sup X（或inf X）（如果没有歧义的风险）。两个元素中集合 { x , y } \{x, y\} { x , y } ( x , y ) (x, y) ( x , y ) ( x , y ) (x, y) ( x , y )
¶ 如果 E 的子集 X 有最大元素 a a a a a a
¶ 如果 X 在 E 中具有下确界 a a a a a a
例
(1)有序集合E中空集∅ \emptyset ∅ ∅ \emptyset ∅ ∅ \emptyset ∅
(2) 在集合 E 的子集集合 P ( E ) \mathfrak{P}(E) P ( E ) P ( E ) \mathfrak{P}(E) P ( E ) S \mathfrak{S} S 并 S \mathfrak{S} S S \mathfrak{S} S
(3) 设E、F为两个集合，设Θ \Theta Θ Φ ( E , F ) \Phi(E, F) Φ ( E , F ) u ∈ Φ ( E , F ) u \in \Phi(E, F) u ∈ Φ ( E , F ) D ( u ) D(u) D ( u ) u u u Φ ( E , F ) \Phi(E, F) Φ ( E , F ) Θ \Theta Θ Φ ( E , F ) \Phi(E, F) Φ ( E , F ) Θ \Theta Θ ( u , v ) (u, v) ( u , v ) x ∈ D ( u ) ∩ D ( v ) x \in D(u) \cap D(v) x ∈ D ( u ) ∩ D ( v ) u ( x ) = v ( x ) u(x) = v(x) u ( x ) = v ( x )
如果像 f ( A ) f(A) f ( A ) f f f sup x ∈ A f ( x ) \sup_{x \in A} f(x) sup x ∈ A f ( x )
特别地，如果 E 的子集 A 在 E 中具有至少上界，则该界限是 A 的典范嵌入到 E 中的最小上界，因此可以写为 sup x ∈ A x \sup_{x \in A} x sup x ∈ A x
设* E 为有序集合，并令 A 为 E 的子集，其中 E *中既有下确界，且至少有上界。 则 inf A ⩽ sup A \inf A \leqslant \sup A inf A ⩽ sup A 如果 A ≠ ∅ A \neq \emptyset A = ∅ 如果 A = ∅ A = \emptyset A = ∅ sup A \sup A sup A 是 E 的最小且* inf A \inf A inf A
被以下引用 1 被以下引用 命题 4, TG IV § 4
令* E 为有序集合，并让 A、B 为 E 中的两个子集，*其中每个在* E 中至少有上界*（分别为*下确界*）。*如果* A ⊂ B A \subset B A ⊂ B sup A ⩽ sup B \sup A \leqslant \sup B sup A ⩽ sup B inf A ⩾ inf B \inf A \geqslant \inf B inf A ⩾ inf B
被以下引用 1 被以下引用 命题 9
设( x ι ) ι ∈ I (x_\iota)_{\iota \in I} ( x ι ) ι ∈ I E \mathrm{E} E E \mathrm{E} E 如果 J \mathrm{J} J I \mathrm{I} I ( x ι ) ι ∈ J (x_\iota)_{\iota \in J} ( x ι ) ι ∈ J E \mathrm{E} E sup ι ∈ J x ι ⩽ sup ι ∈ I x ι \sup\limits_{\iota \in J} x_\iota \leqslant \sup\limits_{\iota \in I} x_\iota ι ∈ J sup x ι ⩽ ι ∈ I sup x ι
被以下引用 1 被以下引用 命题 7
让*( x ι ) ι ∈ I (x_\iota)_{\iota \in I} ( x ι ) ι ∈ I ( y ι ) ι ∈ I (y_\iota)_{\iota \in I} ( y ι ) ι ∈ I E \mathrm{E} E I \mathrm{I} I x ι ⩽ y ι x_\iota \leqslant y_\iota x ι ⩽ y ι ι ∈ I \iota \in \mathrm{I} ι ∈ I 如果两个家庭在 E \mathrm{E} E sup ι ∈ I x ι ⩽ sup ι ∈ I y ι \sup\limits_{\iota \in I} x_\iota \leqslant \sup\limits_{\iota \in I} y_\iota ι ∈ I sup x ι ⩽ ι ∈ I sup y ι
对于 a = sup ι ∈ I y ι a = \sup\limits_{\iota \in I} y_\iota a = ι ∈ I sup y ι y ι y_\iota y ι x ι ⩽ y ι ⩽ a x_\iota \leqslant y_\iota \leqslant a x ι ⩽ y ι ⩽ a ι ∈ I \iota \in \mathrm{I} ι ∈ I sup ι ∈ I x ι ⩽ a \sup\limits_{\iota \in I} x_\iota \leqslant a ι ∈ I sup x ι ⩽ a
让*( x ι ) ι ∈ I (x_\iota)_{\iota \in I} ( x ι ) ι ∈ I E \mathrm{E} E ( J λ ) λ ∈ L (\mathrm{J}_\lambda)_{\lambda \in L} ( J λ ) λ ∈ L I \mathrm{I} I 假设每个亚族 ( x ι ) ι ∈ J λ (x_\iota)_{\iota \in J_\lambda} ( x ι ) ι ∈ J λ E \mathrm{E} E 对于家庭 ( x ι ) ι ∈ I (x_\iota)_{\iota \in I} ( x ι ) ι ∈ I 在 E \mathrm{E} E ( sup ι ∈ J λ x ι ) λ ∈ L \left( \sup\limits_{\iota \in J_\lambda} x_\iota \right)_{\lambda \in L} ( ι ∈ J λ sup x ι ) λ ∈ L 在 E \mathrm{E} E
引用了 1 引用了 推论
( 1 ) sup ι ∈ I x ι = sup λ ∈ L ( sup ι ∈ J λ x ι ) . (1) \qquad \sup_{\iota \in I} x_\iota = \sup_{\lambda \in L} \left( \sup_{\iota \in J_\lambda} x_\iota \right). ( 1 ) ι ∈ I sup x ι = λ ∈ L sup ( ι ∈ J λ sup x ι ) . 让b λ = sup ι ∈ J λ x ι b_\lambda = \sup\limits_{\iota \in J_\lambda} x_\iota b λ = ι ∈ J λ sup x ι ( x ι ) ι ∈ I (x_\iota)_{\iota \in I} ( x ι ) ι ∈ I a a a λ ∈ L \lambda \in \mathrm{L} λ ∈ L a ⩾ b λ a \geqslant b_\lambda a ⩾ b λ λ ∈ L \lambda \in \mathrm{L} λ ∈ L c ⩾ b λ c \geqslant b_\lambda c ⩾ b λ ι ∈ I \iota \in \mathrm{I} ι ∈ I c ⩾ x ι c \geqslant x_\iota c ⩾ x ι ( J λ ) λ ∈ L (\mathrm{J}_\lambda)_{\lambda \in L} ( J λ ) λ ∈ L I \mathrm{I} I c ⩾ a c \geqslant a c ⩾ a
a = sup λ ∈ L b λ . a = \sup_{\lambda \in L} b_\lambda. a = λ ∈ L sup b λ . 相反，假设家庭( b λ ) λ ∈ L (b_\lambda)_{\lambda \in L} ( b λ ) λ ∈ L a ′ a' a ′ a ′ ⩾ x ι a' \geqslant x_\iota a ′ ⩾ x ι ι ∈ I \iota \in \mathrm{I} ι ∈ I c ′ ⩾ x ι c' \geqslant x_\iota c ′ ⩾ x ι ι ∈ I \iota \in \mathrm{I} ι ∈ I
c ′ ⩾ sup ι ∈ J λ x ι = b λ c' \geqslant \sup_{\iota \in J_\lambda} x_\iota = b_\lambda c ′ ⩾ ι ∈ J λ sup x ι = b λ 对于每个 λ ∈ L \lambda \in \mathrm{L} λ ∈ L c ′ ⩾ a ′ c' \geqslant a' c ′ ⩾ a ′
a ′ = sup ι ∈ I x ι . a' = \sup_{\iota \in I} x_\iota. a ′ = ι ∈ I sup x ι .
让*( x λ μ ) ( λ , μ ) ∈ L × M (x_{\lambda\mu})_{(\lambda,\ \mu) \in L \times M} ( x λ μ ) ( λ , μ ) ∈ L × M E \mathrm{E} E μ ∈ M \mu \in \mathrm{M} μ ∈ M ( x λ μ ) λ ∈ L (x_{\lambda\mu})_{\lambda \in L} ( x λ μ ) λ ∈ L E \mathrm{E} E 对于家庭 ( x λ μ ) ( λ , μ ) ∈ L × M (x_{\lambda\mu})_{(\lambda,\ \mu) \in L \times M} ( x λ μ ) ( λ , μ ) ∈ L × M 在 E \mathrm{E} E ( sup λ ∈ L x λ μ ) μ ∈ M \left( \sup\limits_{\lambda \in L} x_{\lambda\mu} \right)_{\mu \in M} ( λ ∈ L sup x λ μ ) μ ∈ M 在 E 中至少拥有* 上界是充分必要的， 然后我们有
( 2 ) sup ( λ , μ ) ∈ L × M x λ μ = sup μ ∈ M ( sup λ ∈ L x λ μ ) . (2) \qquad \sup_{(\lambda,\,\mu)\in L\times M} x_{\lambda\mu} = \sup_{\mu\in M}\left(\sup_{\lambda\in L} x_{\lambda\mu}\right). ( 2 ) ( λ , μ ) ∈ L × M sup x λ μ = μ ∈ M sup ( λ ∈ L sup x λ μ ) .
让*( E ι ) ι ∈ I (E_\iota)_{\iota\in I} ( E ι ) ι ∈ I 为乘积的子集排序集合 E = ∏ ι ∈ I E ι E = \prod_{\iota\in I} E_\iota E = ∏ ι ∈ I E ι A ι = p r ι A A_\iota = \mathrm{pr}_\iota A A ι = pr ι A 对于每个 ι ∈ I \iota \in I ι ∈ I 对于 A 在 E 中至少有上界 对于每个 ι ∈ I \iota \in I ι ∈ I A ι A_\iota A ι 在 E ι E_\iota E ι
被以下引用 1 被以下引用 定义 8
sup A = ( sup A ι ) ι ∈ I = ( sup x ∈ A p r ι x ) ι ∈ I . \sup A = (\sup A_\iota)_{\iota\in I} = \left(\sup_{x\in A} \mathrm{pr}_\iota x\right)_{\iota\in I}. sup A = ( sup A ι ) ι ∈ I = ( x ∈ A sup pr ι x ) ι ∈ I . 假设对于每个 ι ∈ I \iota \in I ι ∈ I A ι A_\iota A ι E ι E_\iota E ι b ι b_\iota b ι c = ( c ι ) c = (c_\iota) c = ( c ι ) ι ∈ I \iota \in I ι ∈ I c ι ⩾ b ι c_\iota \geqslant b_\iota c ι ⩾ b ι ( b ι ) ι ∈ I (b_\iota)_{\iota\in I} ( b ι ) ι ∈ I a = ( a ι ) ι ∈ I a = (a_\iota)_{\iota\in I} a = ( a ι ) ι ∈ I ϰ ∈ I \varkappa \in I ϰ ∈ I a ϰ a_\varkappa a ϰ A ϰ A_\varkappa A ϰ x ϰ ∈ A ϰ x_\varkappa \in A_\varkappa x ϰ ∈ A ϰ x ∈ A x \in A x ∈ A p r ϰ x = x ϰ \mathrm{pr}_\varkappa x = x_\varkappa pr ϰ x = x ϰ A ϰ A_\varkappa A ϰ a ϰ ′ a'_\varkappa a ϰ ′ E ϰ E_\varkappa E ϰ A ϰ A_\varkappa A ϰ c ′ = ( c ι ′ ) ι ∈ I c' = (c'_\iota)_{\iota\in I} c ′ = ( c ι ′ ) ι ∈ I
c ι ′ = a ι for ι ≠ ϰ and c ϰ ′ = a ϰ ′ c'_\iota = a_\iota \quad \text{for} \quad \iota \neq \varkappa \qquad \text{and} \qquad c'_\varkappa = a'_\varkappa c ι ′ = a ι for ι = ϰ and c ϰ ′ = a ϰ ′ 是 A 的上界；因而c ′ ⩾ a c' \geqslant a c ′ ⩾ a a ϰ ′ ⩾ a ϰ a'_\varkappa \geqslant a_\varkappa a ϰ ′ ⩾ a ϰ a ϰ a_\varkappa a ϰ E ϰ E_\varkappa E ϰ A ϰ A_\varkappa A ϰ
☡
¶ 设 F 为有序集合 E 的子集，并设 A 为 F 的子集。可能会出现两个元素 sup E A \sup_E A sup E A sup F A \sup_F A sup F A
例
\* 在实数的有序集合E = R E = \mathbf{R} E = R F = Q F = \mathbf{Q} F = Q < 2 < \sqrt{2} < 2 A ⊂ F A \subset F A ⊂ F sup E A \sup_E A sup E A sup F A \sup_F A sup F A
被以下引用 1 被以下引用 例 2
在例 1 的记号中，令G为A的并且集合{ 2 } \{2\} { 2 } G ⊂ F G \subset F G ⊂ F sup G A \sup_G A sup G A sup F A \sup_F A sup F A
引用了 1 引用了 例 1
与记号、sup E A = 2 \sup_E A = \sqrt{2} sup E A = 2 sup G A = 2 \sup_G A = 2 sup G A = 2
但是，我们得到以下结果：
设*E*为*E的有序集合，*F*子集，*F的A*子集。 如果 sup E A \sup_E A sup E A sup F A \sup_F A sup F A sup E A ⩽ sup F A \sup_E A \leqslant \sup_F A sup E A ⩽ sup F A 如果 sup E A \sup_E A sup E A sup F A \sup_F A sup F A sup E A \sup_E A sup E A
引用了 1 引用了 命题 5
第一个断言源自以下事实：F中A的上界的集合M \mathrm{M} M
10. Directed sets
预先排序的集合* E 被认为是右向 （或*左向*）*如果* E 的两个元素中的每一个子集都位于上方*（相应地*位于下方*）。
代替“右向”，我们经常使用“相对于关系⩽ \leqslant ⩽ S \mathfrak{S} S S \mathfrak{S} S ⊂ \subset ⊂ ⊃ \supset ⊃ S \mathfrak{S} S { X , Y } \{\mathrm{X}, \mathrm{Y}\} { X , Y } Z ∈ S \mathrm{Z} \in \mathfrak{S} Z ∈ S X ⊂ Z \mathrm{X} \subset \mathrm{Z} X ⊂ Z Y ⊂ Z \mathrm{Y} \subset \mathrm{Z} Y ⊂ Z X ⊃ Z \mathrm{X} \supset \mathrm{Z} X ⊃ Z Y ⊃ Z \mathrm{Y} \supset \mathrm{Z} Y ⊃ Z
例* (1) 具有最大元素的有序集合是右向的。 \* (2) 在拓扑空间中，点的邻域的基本系统相对于关系⊃ \supset ⊃ ⊂ \subset ⊂
对于每个x ∈ E x \in \mathrm{E} x ∈ E y ∈ E y \in \mathrm{E} y ∈ E x ⩽ y x \leqslant y x ⩽ y a ⩽ y a \leqslant y a ⩽ y a a a y = a y = a y = a
¶ 右向预排序集合相对于相反的排序是左向的。右有向集合的任何乘积都是右向的。另一方面，右有向集合的子集不一定是右向的。然而，右有向集合 E 的 cofinal 子集 F 始终是右向的；对于给定的x x x y ∈ F y \in \mathrm{F} y ∈ F z ∈ E z \in \mathrm{E} z ∈ E x ⩽ z x \leqslant z x ⩽ z y ⩽ z y \leqslant z y ⩽ z t ∈ F t \in \mathrm{F} t ∈ F z ⩽ t z \leqslant t z ⩽ t
11. 格子
有序集合* E 如果 E 的两个元素中的每一个子集由……组成在* E 中至少有上界和下确界，则称其为格子。
每乘积个格子都是一个格子；这是从条件得出的，因为有序集（no. 9，命题8）中的乘积中至少存在上界。 集合 A 的子集集合按包含排序，是一个格，因为 A 的两个子集的并和交又是 A 的子集。
例
引用了 1 引用了 命题 8
\* 整数 ⩾ 1 \geqslant 1 ⩾ 1 m m m n n n m m m n n n { m , n } \{m,n\} { m , n } m m m n n n
集合 A 上的拓扑集合，在T \mathscr{T} T T ′ \mathscr{T}' T ′ T \mathscr{T} T T ′ \mathscr{T}' T ′
引用了 1 引用了 TG I § 2. 连续函数
在R \mathbf{R} R F ( I , R ) \mathfrak{F}(I,\mathbf{R}) F ( I , R ) f ⩽ g f\leqslant g f ⩽ g R I \mathbf{R}^{I} R I
12. Totally ordered sets
如果关系“x ⩽ y x\leqslant y x ⩽ y y ⩽ x y\leqslant x y ⩽ x x x x y y y
如果x x x y y y x = y x=y x = y x < y x<y x < y x > y x>y x > y x ⩽ y x\leqslant y x ⩽ y x > y x>y x > y
E 上的排序是全排序当且仅当其图 G 满足关系 G ∪ G − 1 = E × E G\cup\overset{-1}{G}=E\times E G ∪ G − 1 = E × E G ∘ G = G G\circ G=G G ∘ G = G G ∩ G − 1 = Δ G\cap\overset{-1}{G}=\Delta G ∩ G − 1 = Δ
例
令 E 为任意有序的集合。 E 的空子集是全序的，单个元素的 E 由……组成的每个子集也是全序的。
\* 实数的集合 R \mathbf{R} R
如果 A 是集合，并且至少有两个不同的元素，则集合 P ( A ) \mathfrak{P}(A) P ( A ) x ≠ y x\neq y x = y { x } \{x\} { x } { y } \{y\} { y }
全序集相对于相反的顺序也是全序的；它是一个格子并且 更不必说 向左和向右。
对于x ≠ y x \neq y x = y x < y x < y x < y x > y x > y x > y
f ( x ) < f ( y ) or f ( x ) > f ( y ) , f(x) < f(y) \qquad \text{or} \qquad f(x) > f(y), f ( x ) < f ( y ) or f ( x ) > f ( y ) , 所以无论哪种情况都是f ( x ) ≠ f ( y ) f(x) \neq f(y) f ( x ) = f ( y ) f f f f ( x ) ⩽ f ( y ) f(x) \leqslant f(y) f ( x ) ⩽ f ( y ) x ⩽ y x \leqslant y x ⩽ y x > y x > y x > y f ( x ) > f ( y ) f(x) > f(y) f ( x ) > f ( y )
设* E 为全序集并让 X 为 E 的子集。 对于 E 的元素 b b b 为 E 中* X 的最小上界， 必要且充分的是* (1) b b b c ∈ E c \in \mathrm{E} c ∈ E c < b c < b c < b x ∈ X x \in \mathrm{X} x ∈ X c < x ⩽ b c < x \leqslant b c < x ⩽ b
引用了 1 引用了 命题 10
The second condition says that no element c < b c < b c < b b b b b b b
13. 间隔
令 E 为有序集合，并令 a a a b b b a ⩽ b a \leqslant b a ⩽ b x x x a ⩽ x ⩽ b a \leqslant x \leqslant b a ⩽ x ⩽ b [ a , b ] [a, b] [ a , b ] x ∈ E x \in \mathrm{E} x ∈ E a ⩽ x < b a \leqslant x < b a ⩽ x < b a < x ⩽ b a < x \leqslant b a < x ⩽ b a a a b b b [ a , b [ [a, b[ [ a , b [ ] a , b ] ]a, b] ] a , b ] x ∈ E x \in \mathrm{E} x ∈ E a < x < b a < x < b a < x < b a a a b b b ] a , b [ ]a, b[ ] a , b [
注闭区间永远不会为空；间隔[ a , a ] [a, a] [ a , a ] { a } \{a\} { a } [ a , a [ [a, a[ [ a , a [ ] a , a ] ]a, a] ] a , a ] ] a , a [ ]a, a[ ] a , a [ a < b a < b a < b ] a , b [ ]a, b[ ] a , b [
令a a a x ∈ E x \in \mathrm{E} x ∈ E x ⩽ a x \leqslant a x ⩽ a x < a x < a x < a ] ← , a ] ]{\leftarrow}, a] ] ← , a ] ] ← , a [ ]{\leftarrow}, a[ ] ← , a [ x ∈ E x \in \mathrm{E} x ∈ E x ⩾ a x \geqslant a x ⩾ a x > a x > a x > a [ a , → [ [a, {\rightarrow}[ [ a , → [ ] a , → [ ]a, {\rightarrow}[ ] a , → [ ] ← , → [ ]\leftarrow, \rightarrow[ ] ← , → [
在格中，两个区间的交是一个区间。*考虑两个闭区间[ a , b ] [a, b] [ a , b ] [ c , d ] [c, d] [ c , d ] α = sup ( a , c ) \alpha = \sup (a, c) α = sup ( a , c ) β = inf ( b , d ) \beta = \inf (b, d) β = inf ( b , d ) a ⩽ x ⩽ b a \leqslant x \leqslant b a ⩽ x ⩽ b c ⩽ x ⩽ d c \leqslant x \leqslant d c ⩽ x ⩽ d α ⩽ x ⩽ β \alpha \leqslant x \leqslant \beta α ⩽ x ⩽ β [ a , b ] [a, b] [ a , b ] [ c , d ] [c, d] [ c , d ] α ⩽̸ β \alpha \not\leqslant \beta α ⩽ β α ⩽ β \alpha \leqslant \beta α ⩽ β [ α , β ] [\alpha, \beta] [ α , β ]
习题
参见习题为 § 1 。