习题 29, § 6

(a) 在有序集合 E 中，诺特子集（相对于诱导排序）的每个有限并都是诺特。

(b) 有序集合 E 为诺特当且仅当对于每个 $a \in \mathrm{E}$，间隔 $]a, \rightarrow[$ 为诺特。

(c) 令E为有序集合，使得通过赋予E相反的顺序而获得的有序集合为诺特。令$u$为字母，令$\mathrm{T}\{u\}$为项。证明存在集合 U 和映射 $f$ E 到 U 上，这样对于每个 $x \in \mathrm{E}$，我们有 $f(x) = \mathrm{T}\{f^{(x)}\}$，其中 $f^{(x)}$ 表示 $]\leftarrow, x[$ 的映射到 $f(]\leftarrow, x[)$，其中重合与$f$ 在此区间。而且，U和$f$由这个条件唯一确定。

(d) 令 E 诺特有序集合，使得 E 的每个有限子集在 E 中至少有上界。证明，如果 E 至少有元素，则 E 是一个完全格子 (§ 1，习题 11)；如果 E 没有至少元素，则通过将至少元素与 E (§ 1, no. 7，命题 3) 邻接而获得的集合 $E'$ 是一个完全格。