Bài tập 29, § 6

(a) Trong một tập hợp có thứ tự E, mọi hợp hữu hạn của các tập con Noether (đối với thứ tự cảm sinh) đều là Noether.

(b) Một tập hợp có thứ tự E là Noether khi và chỉ khi với mỗi $a \in \mathrm{E}$ khoảng $]a, \rightarrow[$ là Noether.

(c) Cho E là một tập hợp có thứ tự sao cho tập hợp có thứ tự thu được bằng cách trang bị cho E thứ tự đối là Noether. Cho $u$ là một chữ và $\mathrm{T}\{u\}$ là một số hạng. Chứng minh rằng tồn tại một tập hợp U và một ánh xạ $f$ từ E lên U sao cho với mỗi $x \in \mathrm{E}$ ta có $f(x) = \mathrm{T}\{f^{(x)}\}$, trong đó $f^{(x)}$ là ánh xạ từ $]\leftarrow, x[$ lên $f(]\leftarrow, x[)$ trùng với $f$ trên khoảng này. Hơn nữa, U và $f$ được xác định duy nhất bởi điều kiện này.

(d) Cho E là một tập hợp có thứ tự Noether sao cho mọi tập con hữu hạn của E đều có cận trên nhỏ nhất trong E. Chứng minh rằng, nếu E có phần tử nhỏ nhất, thì E là một dàn đầy đủ (§ 1, Bài tập 11); và nếu E không có phần tử nhỏ nhất, thì tập hợp $E'$ thu được bằng cách ghép thêm một phần tử nhỏ nhất vào E (§ 1, no. 7, Mệnh đề 3) là một dàn đầy đủ.