Exercice 29, § 6

a) Dans un ensemble ordonné E, toute réunion finie de sous-ensemble noethériens (pour l’ordre induit) de E est un ensemble ordonné noethérien. b) Pour qu’un ensemble ordonné E soit noethérien, il faut et il suffit que pour tout $a \in E$, l’intervalle $]a, \rightarrow[$ soit noethérien. c) Soit E un ensemble ordonné tel que l’ensemble obtenu en munissant E de l’ordre opposé soit noethérien. Soient $u$ une lettre, $T\{u\}$ un terme. Montrer qu’il existe un ensemble U et une application $f$ de E sur U tels que, pour tout $x \in E$, on ait $f(x) = T\{f^{(x)}\}$, en désignant par $f^{(x)}$ l’application de $]\leftarrow, x[$ sur $f(]\leftarrow, x[)$ qui coïncide avec $f$ dans cet intervalle; en outre U et $f$ sont déterminés de façon unique par cette condition. d) Soit E un ensemble ordonné noethérien tel que toute partie finie de E admette une borne supérieure dans E. Montrer que si E admet un plus petit élément, E est un ensemble réticulé achevé (III, p. 71, exerc. 11); si au contraire E n’admet pas de plus petit élément, l’ensemble E’ obtenu en adjoignant à E un plus petit élément (III, p. 9, prop. 3) est réticulé achevé.